无

$(\sqrt3,2)$

由条件知，点 $F_1,F_2$ 的坐标分别为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$．设直线 $l$ 方程为 $y=kx+m$，点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则联立直线与椭圆，消去 $y$ 得$$(2k^2+1)x^2+4kmx+(2m^2-2)=0\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$由于点 $A,B$ 不重合，且直线 $l$ 的斜率存在，故 $x_1,x_2$ 是方程 $\text{ ① }$ 的两个不同实根，因此有 $\text{ ① }$ 的判别式$$\Delta=(4km)^2-4(2k^2+1)(2m^2-2)=8(2k^2+1-m^2)>0,$$即$$2k^2+1>m^2\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由直线 $AF_1,l,BF_1$ 的斜率 $\dfrac{y_1}{x_1+1},k,\dfrac{y_2}{x_2+1}$ 依次成等差数列，知$$\dfrac{y_1}{x_1+1}+\dfrac{y_2}{x_2+1}=2k,$$结合点在直线上，得$$(kx_1+m)(x_2+1)+(kx_2+m)(x_1+1)=2k(x_1+1)(x_2+1),$$化简并整理得$$(m-k)(x_1+x_2+2)=0.$$假设 $m=k$，则直线 $l$ 的方程为 $y=kx+k$，即 $l$ 经过点 $F_1(-1,0)$，不符合条件．
因此必有 $x_1+x_2+2=0$，故由方程 $\text{ ① }$ 及韦达定理知，$$\dfrac{4km}{2k^2+1}-(x_1+x_2)=2,$$代入并整理得$$m=k+\dfrac{1}{2k}\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }$$由 $\text{ ②③ }$ 知，$$2k^2+1>m^2=\left(k+\dfrac{1}{2k}\right)^2,$$化简得 $k^2>\dfrac{1}{4k^2}$，这等价于$$|k|>\dfrac{\sqrt2}{2}.$$反之，当 $m,k$ 满足 $\text{ ③ }$ 及 $|k|>\dfrac{\sqrt2}{2}$ 时，$l$ 必不经过点 $F_1$，而此时 $m,k$ 满足 $\text{ ② }$，故 $l$ 与椭圆有两个不同的交点 $A,B$，同时也保证了 $AF_1,BF_1$ 的斜率存在．
而点 $F_2(1,0)$ 到直线 $l$ 的距离为$$d=\dfrac{|k+m|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}}\cdot\left(2+\dfrac{1}{2k^2}\right).$$注意到 $|k|>\dfrac{\sqrt2}{2}$，令 $t=\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+1}$，则 $t\in\left(1,\sqrt3\right)$，上式可改写为$$d=\dfrac1t\left(\dfrac{t^2}{2}+\dfrac32\right)=\dfrac12\cdot\left(t+\dfrac3t\right)\qquad\cdots\cdots\text{ ④ }$$考虑到函数 $f(t)=\dfrac12\cdot\left(t+\dfrac3t\right)$ 在 $\left[1,\sqrt3\right]$ 上单调递减，故由 $\text{ ④ }$ 得，$f\left(\sqrt3\right)<d<f(1)$，即 $d\in\left(\sqrt3,2\right)$．