证明：$\tan 1^\circ$ 为无理数．
【难度】
【出处】
2014年北京大学等三校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $\tan n^\circ =a_n$，$n\in\mathbb N^*$．假设 $a_1=\tan 1^\circ$ 为有理数，则由\[a_{n+1}=\dfrac{a_n+a_1}{1-a_n\cdot a_1},\]于是 $a_{30}$ 为有理数，矛盾．因此 $\tan 1^\circ$ 为无理数．
答案
解析
备注
