平面直角坐标系内，若一个圆的圆心的横坐标和纵坐标均为无理数，求证：该圆上不可能存在 $3$ 个整点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
假设命题不成立，则至少存在 $3$ 个整点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$．
设圆的方程为$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,$$其中 $a,b$ 为无理数，$r\in \mathbb R$．
因为$$\begin{cases}(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2,\\ (x_2-a)^2+(y_2-b)^2=r^2,\\ (x_3-a)^2+(y_2-b)^2=r^2,\end{cases}$$联立并化简得$$\begin{cases}(2x_2-2x_1)a+(2y_2-2y_1)b+x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2=0,\\(2x_3-2x_1)a+(2y_3-2y_1)b+x_1^2+y_1^2-x_3^2-y_3^2=0,\end{cases}$$又因为 $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$ 为整数，所以 $a,b$ 为有理数，与 $a,b$ 为无理数矛盾．
因此假设不成立，即该圆上不可能存在 $3$ 个整点．
设圆的方程为$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,$$其中 $a,b$ 为无理数，$r\in \mathbb R$．
因为$$\begin{cases}(x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2,\\ (x_2-a)^2+(y_2-b)^2=r^2,\\ (x_3-a)^2+(y_2-b)^2=r^2,\end{cases}$$联立并化简得$$\begin{cases}(2x_2-2x_1)a+(2y_2-2y_1)b+x_1^2+y_1^2-x_2^2-y_2^2=0,\\(2x_3-2x_1)a+(2y_3-2y_1)b+x_1^2+y_1^2-x_3^2-y_3^2=0,\end{cases}$$又因为 $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$ 为整数，所以 $a,b$ 为有理数，与 $a,b$ 为无理数矛盾．
因此假设不成立，即该圆上不可能存在 $3$ 个整点．
答案
解析
备注
