证明：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若二次函数的图象某点处的切线与某条割线平行，则切点的横坐标为两个割点横坐标的等差中项；标注答案略解析如图．
不妨设二次函数为$$y=ax^2+bx+c,$$切线的方程为$$y=kx+m_0,$$割线的方程为$$y=kx+m,$$切点的横坐标为 $x_0$，割点的横坐标为 $x_1,x_2$，则分别将切线与割线的方程与二次函数联立，可得$$\begin{cases} ax^2+bx+c-\left(kx+m_0\right)=a\left(x-x_0\right)^2,\\ ax^2+bx+c-\left(kx+m\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right),\end{cases} $$这两个等式左边的一次项相同，因此根据韦达定理，有$$-\dfrac{b-k}a=2x_0=x_1+x_2,$$原命题得证． -
从三次函数图象上任意点 $P$ 作三次函数图象的切线（$P$ 不为切点）和割线，切点的横坐标为割点横坐标的等差中项．标注答案略解析如图．
不妨设点 $P\left(x_p,y_p\right)$，三次函数方程为$$y=ax^3+bx^2+cx^2+d,$$切线方程为$$y=k_0\left(x-x_p\right)+y_p,$$割线的方程为$$y=k\left(x-x_p\right)+y_p,$$切点的横坐标为 $x_0$，割点的横坐标为 $x_1,x_2$，则分别将切线与割线的方程与二次方程联立，可得$$\begin{cases} ax^3+bx^2+cx+d-\left[k_0\left(x-x_p\right)+y_p\right]=a\left(x-x_p\right)\left(x-x_0\right)^2,\\ ax^3+bx^2+cx+d-\left[k\left(x-x_p\right)+y_p\right]=a\left(x-x_p\right)\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right),\end{cases} $$这两个等式左边的二次项相同，因此根据韦达定理，有$$-\dfrac ba=x_p+2x_0=x_p+x_1+x_2,$$原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
