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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19638 5d1d729d210b28021fc77ec5 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 3$，不超过 $n$ 的素数共有 $k$ 个．设 $A$ 为集合 $\{2,3,\cdots ,n\}$ 的子集，$A$ 的元素个数小于 $k$，且 $A$ 中任意一个数不是另一个数的倍数．证明：存在集合 $\{2,3,\cdots,n\}$ 的 $k$ 元子集 $B$，使得 $B$ 中任意一个数也不是另一个数的倍数，且 $B$ 包含 $A$． 2022-04-17 19:24:52
19637 5d1d72b4210b280220ed5691 高中 解答题 自招竞赛 在平面中，对任意给定的凸四边形 $ABCD$，证明：存在正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$（其顶点可以按顺时针或逆时针标记），使得点 $A^\prime$ 与 $A$、点 $B^\prime$ 与 $B$、点 $C^\prime$ 与 $C$、点 $D^\prime$ 与 $D$ 分别不重合，且直线 $AA^\prime、BB^\prime、CC^\prime、DD^\prime$ 经过同一个点． 2022-04-17 19:23:52
19636 5d1d735b210b28021fc77ecb 高中 解答题 自招竞赛 一项赛事共有 $100$ 位选手参加，对于任意两位选手 $x,y$，他们之间恰比赛一次且分出胜负，以 $x \rightarrow y$ 表示选手 $x$ 战胜选手 $y$．若对任意两位选手 $x,y$，均能找到某个选手序列 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{k}(k \geqslant 2)$，使得 $x=u_{1} \rightarrow u_{2} \rightarrow \cdots \rightarrow u_{k}=y$，则称该赛事结果为“友好”的．
（1）证明：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数 $m$ 满足：对任意两位选手 $x,y$，均能找到某个长度为 $m$ 的选手序列 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{m}$（$z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{m}$ 可重复），使得 $x=z_{1} \rightarrow z_{2} \rightarrow \cdots \rightarrow z_{m}=y$；
（2）对任意一个友好的赛事结果 $T$，将符合（1）中条件的最小正整数 $m$ 记为 $m( T)$，求 $m(T)$ 的最小值．		 2022-04-17 19:23:52
19635 5d1dca51210b28021fc77fa3 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 是大于 $1$ 的正整数，$a_{1}^{{}},a_{2}^{{}},\cdots ,a_{n}^{{}}$ 是实数．证明：$$\displaystyle \dfrac{3{{\left[ \sum\limits_{k=1}^{n}{(2k-n-1) }{{a}_{k}} \right]}^{2}}}{{{n}^{2}}-1}+{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{ }{{a}_{i}} \right)}^{2}}\leqslant n\sum\limits_{i=1}^{n}{ }a_{i}^{2}.$$ 2022-04-17 19:23:52
19634 5d1d86ec210b280220ed56a1 高中 解答题 高中习题 设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，求集合 $A=\{n\vert n=[\frac{k^2}{2019}],1\leqslant k \leqslant 2020,k\in N\}$ 的元素个数 2022-04-17 19:22:52
19633 5d1eb744210b280220ed582e 高中 解答题 高中习题 设抛物线 $C : y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，$C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $M$，倾斜角为 $\theta$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A、B$ 两点，求证：$\tan\angle AMB = \dfrac{2\sin\theta}{\cos^{2}\theta}$ 2022-04-17 19:22:52
19632 5d1ebdd6210b280220ed585f 高中 解答题 高中习题 13213213 2022-04-17 19:22:52
19631 5d1eafbb210b280220ed580a 高中 解答题 高中习题 已知 $\begin{cases}
& \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =\sqrt{3} \\
& \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =\sqrt{2} \\
& \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-1 \\
\end{cases} $，求 $\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma$ 和 $\tan(\alpha+\beta+\gamma)$．		 2022-04-17 19:21:52
19630 5d1ef186210b280220ed58e0 高中 解答题 高中习题 $9$ 名同学参加质心数学活动时被分到同一个组，他们任两个人或者之前认识，或者之前不认识。证明：这 $9$ 名同学中，要么存在四人两两互相认识，要么存在三个人两两互相不认识． 2022-04-17 19:21:52
19629 5d1eb88a210b28021fc78022 高中 解答题 高中习题 $\triangle ABC$ 的边 $AC$ 的中点为 $D$，$\triangle ABD$ 的外接圆为 $\Omega$ 。 $D$ 做 $AB$ 的平行线与 $\Omega$ 交于 $E$ 。 $\triangle EDC$ 的外接圆为 $\omega$ 。试证明：$D$ 关于 $\omega$ 的切线，$E、A$ 关于 $\Omega$ 的切线三线共点． 2022-04-17 19:20:52
19628 5d1e0ec2210b280220ed57f4 高中 解答题 高中习题 找到正整数 $a<b<c$，满足 $\arccos\dfrac{a}{1331}=\arccos\dfrac{b}{1331}+\arccos\dfrac{c}{1331}$． 2022-04-17 19:20:52
19627 5d1f522c210b28021fc780ff 高中 解答题 高中习题 设 $n$ 为正整数，从原点 $O$ 沿坐标网（$y=k,x=h,k$、$h$ 属于整数）走到点 $P(n,n)$ 的所有最短路线，与直线 $y=x$ 相交的次数（$(0,0),(n,n)$ 也算）之和是多少？ 2022-04-17 19:20:52
19626 5d1f5401210b280220ed5944 高中 解答题 高中习题 一次考试共有 $8$ 道题目，已知有 $a$ 名学生测试，分析测试的结果发现：
$(1)$ 每名学生均答对了其中的四道题
$(2)$ 对任意两道题目，均恰有相同人数的学生答对
求 $a$ 的最小可能值		 2022-04-17 19:20:52
19625 5d1f546a210b28021fc78108 高中 解答题 高中习题 设有两个完全一样的齿轮 $A$、$B$，两个齿轮各有 $n(n\geq8)$ 个齿，将齿轮 $B$ 放在一个水平面上，齿轮 $A$ 放在齿轮 $B$ 的上面，并使得两者重合（从而齿轮在水平面上面的投影完全重合），任意敲掉4对重合的齿。若能将齿轮 $A$ 绕两轮的公共轴旋转到一个适当的位置是的两个齿轮在水平面上的投影是一个完整的齿轮的投影，求 $n$ 的最小值。 2022-04-17 19:19:52
19624 5d1f54d4210b28021fc7810d 高中 解答题 高中习题 在坐标平面上取无三点共线的 $n$ 个点，并将其中每个点分别染成红、绿、黄三色之一，使得以下条件成立：
$(1)$  在任一三顶点均为红色的三角形内，至少有一个绿点
$(2)$  在任一三顶点均为绿色的三角形内，至少有一个黄点
$(3)$  在任一三顶点均为黄色的三角形内，至少有一个红点
求：正整数 $n$ 的最大值		 2022-04-17 19:19:52
19623 5d1f5537210b280220ed594b 高中 解答题 高中习题 集合 $S$ 是由空间内 $2015$ 个点构成，且任意四点不共面。正整数 $m$ 满足：将任意两点连成一条线段，且在此线段上标记一个不大于 $m$ 的非负整数，使得由集合 $S$ 中顶点构成的任何一个三角形，一定有两条边上的数字是相同的，且该数字小于第三边上的数字。试求 $m$ 的最小值。 2022-04-17 19:19:52
19622 5d1f5569210b280220ed5950 高中 解答题 高中习题 将 $n \times n$ 方格表中的每个方格任意染上红、黄、蓝、绿四色之一，总存在一个方格，使得其上、下、左、右的四个方向上均至少有一个与之同色的方格。求满足上述条件的正整数 $n$ 的最小值。 2022-04-17 19:18:52
19621 5d1f567b210b280220ed5955 高中 解答题 高中习题 设整数 $n \geqslant 3$，正整数集 $A={a_{1},a_{2},…,a_{2n}}$，记集合 $A$ 的元素和为 $S(A)$ 。证明：集合 $A$ 的 $n$ 元子集中，至多有 $C_{2n-1}^{n}$ 个子集其元素和整除 $S(A)$ 2022-04-17 19:18:52
19620 5d1f578f210b280220ed595a 高中 解答题 高中习题 设 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 为有限集合 $X$ 的 $n$ 个非空子集，且对任意正整数 $i$、$j$（$1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$），$A_{i}$ 交 $A_{j}$ 不为单元集。证明：可以将集合 $X$ 的元素分成两类，使得每个子集 $A_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 的元素不全在同一类中 2022-04-17 19:18:52
19619 5d1f5863210b28021fc78119 高中 解答题 高中习题 $S=$ { $(x,y)|1 \leqslant x \leqslant n,i \leqslant y \leqslant n$，$x$ 和 $y$ 是整数} $T$ 是所有顶点均在集合 $S$ 中的正方形的集合。对于集合 $S$ 中的一个点对，当此点对是 $k$ 个正方形的顶点时，则称该点对具有“$k$ 重性”。记所有具有 $k$ 重性的点对的个数为 $a_{k}$ 。证明：$a_{0}=a_{2}+2a_{3}$ 2022-04-17 19:17:52
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