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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19658 5d1afb57210b28021fc77ce7 高中 解答题 高中习题 对整数 $n>1$，设 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}}$ 是 $n $ 的标准分解式，定义 $\omega(n)=t, \Omega(n)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{t}$ 是否对任意给定的正整数 $k$ 及正实数 $\alpha,\beta$，总存在整数 $n>1$，使得 $\dfrac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha, \dfrac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$．
证明你的结论．		 2022-04-17 19:32:52
19657 5d1afcd0210b280220ed54af 高中 解答题 高中习题 设集合 $X=\{1,2, \cdots, 100\}$，函数 $f : X \rightarrow X$ 同时满足
（1）对任意的 $x\in X$，均有 $f(x)\ne x$；
（2）对集合 $X$ 的任意一个 $40$ 元子集 $A$，均有 $A\bigcap f(A)\ne\varnothing$．
求最小的正整数 $k$，使得对任意满足上述条件的函数 $f$，均存在集合 $X$ 的 $k$ 元子集 $B$，使得
$B \bigcup f(B)=X$．
注：对集合 $X$ 的子集 $T$，定义 $f(T)=\left\{f\left.(t)\right|t \in T\right\}$．		 2022-04-17 19:31:52
19656 5d1aff60210b280220ed54ba 高中 解答题 高中习题 对于非空数集 $S、T$，定义 2022-04-17 19:31:52
19655 5d1af6a8210b280220ed548f 高中 解答题 自招竞赛 如图在锐角 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB>AC$，$\angle BAC$ 的角平分线与边 $BC$ 交于点 $D$，点 $E,F$ 分别在边 $AB,AC$ 上，使得 $B,C ,F,E$ 四点共圆．证明：$\triangle D E E$ 的外心与 $\triangle A B C$ 的内心重合的充分必要条件是 $BE+CF= BC$． 2022-04-17 19:30:52
19654 5d1b1cd7210b280220ed54c4 高中 解答题 自招竞赛 对大于 $1$ 的整数 $n$，定义集合 $D(n)=\{a-b|{n}=a b, a, b \in \mathbb{Z}_{+}, a>b \}$
证明：对任意大于 $1$ 的整数 $k$，总存在 $K$ 个互不相同且大于 $1$ 的整数 $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{k}$ 使得 $D\left(n_{1}\right) \cap D\left(n_{2}\right) \cap \cdots \cap D\left(n_{k}\right)$ 的元素个数大于或等于 $2$．		 2022-04-17 19:30:52
19653 5d1b1e5a210b28021fc77d06 高中 解答题 自招竞赛 对整数 $n>1$，设 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}}$ 是 $n$ 的标准分解式，定义 $\omega(n)=t, \Omega(n)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{t}$．
是否对任意给定的正整数 $k$ 及正实数 $\alpha,\beta$，总存在整数 $n > 1$，使得 $\dfrac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha, \dfrac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta ?$
证明你的结论．		 2022-04-17 19:30:52
19652 5d1b1f04210b28021fc77d12 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $X=\{1,2, \cdots, 100\}$，函数 $f : X \rightarrow X$ 同时满足
（1）对任意的 $x\in X$，均有 $f(x)\ne x$；
（2）对集合 $X$ 的任意一个 $40$ 元子集 $A$，均有 $A\bigcap f(A)\ne \varnothing$．
求最小的正整数 $k$，使得对任意满足上述条件的函数 $f$，均存在集合 $X$ 的 $k$ 元子集 $B$，使得 $B \cup f(B)=X$．
注：对集合 $X$ 的子集 $T$，定义 $f(T)=\{f(t) | t \in T\}$．		 2022-04-17 19:29:52
19651 5d1b1ff3210b280220ed54d7 高中 解答题 自招竞赛 对于非空数集 $S、T$，定义 $S+T=\left\{s+t | s \in S, t \in T\right\},2 S=\left\{\left.2{s}\right|{s} \in S\right\}$
设 $n $ 为正整数，$A,B$ 均为 $\{1,2, \cdots, n \}$ 的非空子集证明：存在 $A+B$ 的子集 $D$，使得
$D+D \subseteq 2(A+B)$ 且 $|D| \geqslant \dfrac{|A||B|}{2 n}$
其中，$|X|$ 表示有限集 $X$ 的元素个数．		 2022-04-17 19:29:52
19650 5d1c6b39210b280220ed55f2 高中 解答题 高中习题 对于任意 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$，${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\geqslant m\left( ac+bd+bc \right)$ 恒成立，求 $m$ 的最大值． 2022-04-17 19:28:52
19649 5d1c4a46210b280220ed55a3 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $r \in(0,1)$．证明：若 $n$ 个复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}$ 满足 $\left|z_{k}-1\right| \leqslant r(k=1,2, \cdots, n)$，则 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\right|\left|\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{z_{n}}\right|\geqslant n^{2}\left(1-r^{2}\right)$． 2022-04-17 19:28:52
19648 5d1c4b28210b28021fc77dc4 高中 解答题 自招竞赛 如图设 $A、B、D、E、F、C$ 依次为一个圆上的六个点，满足 $AB=AC$．直线 $AD$ 与 $BE$ 交于点 $P$，直线 $AF$ 与 $CE$ 交于点 $R$，直线 $BF$ 与 $CD$ 交于点 $Q$，直线 $AD$ 与 $BF$ 交于点 $S$，直线 $AF$ 与 $CD$ 交于点 $T$．点 $K$ 在线段 $ST$ 上，使得 $\angle S K Q=\angle A C E$．证明：$\dfrac{S K}{K T}=\dfrac{P Q}{Q R}$． 2022-04-17 19:27:52
19647 5d1c4e72210b28021fc77dcc 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 5$．求最小的整数 $m$，使得存在两个由整数构成的集合 $A、B$，同时满足下列条件：
（1）$|A|=n,|B|=m, $ 且 $ A \subseteq B$；
（2）对集合 $B$ 中任意两个不同元素 $x,y$，有 $x+y \in B$ 当且仅当 $x, y \in A$．		 2022-04-17 19:27:52
19646 5d1c5251210b28021fc77dd4 高中 解答题 自招竞赛 求具有下述性质的所有整数 $k$：存在无穷多个正整数 $n$，使得 $(n+k) \nmid C_{2 n}^{n}$． 2022-04-17 19:27:52
19645 5d1c559a210b280220ed55b8 高中 解答题 自招竞赛 某次会议共有 $30$ 人参加，其中每个人在其余人中至多有五位熟人；任意五人中，至少有两人不是熟人．求最大的正整数 $k$，使得在满足上述条件的 $30$ 人中总存在 $k$ 人，两两不是熟人． 2022-04-17 19:26:52
19644 5d1c5651210b28021fc77ddd 高中 解答题 自招竞赛 设非负整数的无穷数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots$ 满足：对任意正整数 $m,n$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2 m} a_{i n} \leqslant m$．证明：存在正整数 $k、d$，满足 $\sum_\limits{i=1}^{2 k} a_{i d}=k-2014$． 2022-04-17 19:26:52
19643 5d1d9b0b210b280220ed5725 高中 解答题 高中习题 实数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$
满足：$x_{1}=y_{1}=\sqrt{3}$，且对所有的 $n \geqslant 1$\[x_{n+1}=y_{n}+\sqrt{1+x_{n}^{2}},\quad y_{n+1}=\frac{y_{n}}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}}\]证明：$2<x_{n} y_{n}<3$ 对所有 $n>1$ 成立。		 2022-04-17 19:26:52
19642 5d1d9eff210b28021fc77f54 高中 解答题 高中习题 9名同学参加质心数学活动时被分到同一个组，他们任两个人或者之前认识，或者之前不认识。证明：这9名同学中，要么存在四人两两互相认识，要么存在三个人两两互相不认识。 2022-04-17 19:25:52
19641 5d1d6f28210b28021fc77eb2 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{31}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{31}$ 满足
（1）$a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{31} \leqslant 2015,b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{31} \leqslant 2015$
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{31}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{31}$．
求 $ S=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|+\cdots+\left|a_{31}-b_{31}\right|$ 的最大值．		 2022-04-17 19:25:52
19640 5d1d6fb8210b28021fc77eba 高中 解答题 自招竞赛 如图在凸四边形 $ABCD$ 中，$K、L、M、N$ 分别为边 $AB、BC、CD、DA$ 上的点，满足 $\dfrac{A K}{K B}=\dfrac{D A}{B C}, \dfrac{B L}{L C}=\dfrac{A B}{C D}, \dfrac{C M}{M D}=\dfrac{B C}{D A}, \dfrac{D N}{N A}=\dfrac{C D}{A B}$．
延长 $AB、DC$ 交于点 $E$，延长 $AD、BC$ 交于点 $F$．设 $\triangle AEF$ 的内切圆在边 $AE、AF$ 上的切点分别为 $S,T$，$\triangle CEF$ 的内切圆在边 $CE、CF$ 上的切点分别为 $U,V$，证明：若 $K、L、M、N$ 四点共圆，则 $S、T、U、V$ 四点共圆．		 2022-04-17 19:25:52
19639 5d1d7124210b280220ed5687 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为奇素数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{p}$ 为整数．证明以下两个命题等价：
（1）存在一个次数不超过 $\dfrac{p-1}{2}$ 的整系数多项式 $f(x)$，使得对每个不超过 $p$ 的正整数 $i$，均有 $f(i) \equiv a_{i}(\bmod p)$．
（2）对每个不 超过 $\dfrac{p-1}{2}$ 的正整数 $d$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{p}\left(a_{i+d}-a_{i}\right)^{2} \equiv 0(\bmod p)$，其中，下标按模 $p$ 理解，即 $a_{p+n}=a_{n}$．		 2022-04-17 19:24:52
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