序号 | ID | 年级 | 类型 | 来源 | 摘要 | 创建时间 |
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19658 | 5d1afb57210b28021fc77ce7 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 对整数 $n>1$,设 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}}$ 是 $n $ 的标准分解式,定义 $\omega(n)=t, \Omega(n)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{t}$ 是否对任意给定的正整数 $k$ 及正实数 $\alpha,\beta$,总存在整数 $n>1$,使得 $\dfrac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha, \dfrac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$. 证明你的结论. |
2022-04-17 19:32:52 |
19657 | 5d1afcd0210b280220ed54af | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 设集合 $X=\{1,2, \cdots, 100\}$,函数 $f : X \rightarrow X$ 同时满足 (1)对任意的 $x\in X$,均有 $f(x)\ne x$; (2)对集合 $X$ 的任意一个 $40$ 元子集 $A$,均有 $A\bigcap f(A)\ne\varnothing$. 求最小的正整数 $k$,使得对任意满足上述条件的函数 $f$,均存在集合 $X$ 的 $k$ 元子集 $B$,使得 $B \bigcup f(B)=X$. 注:对集合 $X$ 的子集 $T$,定义 $f(T)=\left\{f\left.(t)\right|t \in T\right\}$. |
2022-04-17 19:31:52 |
19656 | 5d1aff60210b280220ed54ba | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 对于非空数集 $S、T$,定义 | 2022-04-17 19:31:52 |
19655 | 5d1af6a8210b280220ed548f | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:30:52 |
19654 | 5d1b1cd7210b280220ed54c4 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 对大于 $1$ 的整数 $n$,定义集合 $D(n)=\{a-b|{n}=a b, a, b \in \mathbb{Z}_{+}, a>b \}$ 证明:对任意大于 $1$ 的整数 $k$,总存在 $K$ 个互不相同且大于 $1$ 的整数 $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{k}$ 使得 $D\left(n_{1}\right) \cap D\left(n_{2}\right) \cap \cdots \cap D\left(n_{k}\right)$ 的元素个数大于或等于 $2$. |
2022-04-17 19:30:52 |
19653 | 5d1b1e5a210b28021fc77d06 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 对整数 $n>1$,设 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}}$ 是 $n$ 的标准分解式,定义 $\omega(n)=t, \Omega(n)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{t}$. 是否对任意给定的正整数 $k$ 及正实数 $\alpha,\beta$,总存在整数 $n > 1$,使得 $\dfrac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha, \dfrac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta ?$ 证明你的结论. |
2022-04-17 19:30:52 |
19652 | 5d1b1f04210b28021fc77d12 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设集合 $X=\{1,2, \cdots, 100\}$,函数 $f : X \rightarrow X$ 同时满足 (1)对任意的 $x\in X$,均有 $f(x)\ne x$; (2)对集合 $X$ 的任意一个 $40$ 元子集 $A$,均有 $A\bigcap f(A)\ne \varnothing$. 求最小的正整数 $k$,使得对任意满足上述条件的函数 $f$,均存在集合 $X$ 的 $k$ 元子集 $B$,使得 $B \cup f(B)=X$. 注:对集合 $X$ 的子集 $T$,定义 $f(T)=\{f(t) | t \in T\}$. |
2022-04-17 19:29:52 |
19651 | 5d1b1ff3210b280220ed54d7 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 对于非空数集 $S、T$,定义 $S+T=\left\{s+t | s \in S, t \in T\right\},2 S=\left\{\left.2{s}\right|{s} \in S\right\}$ 设 $n $ 为正整数,$A,B$ 均为 $\{1,2, \cdots, n \}$ 的非空子集证明:存在 $A+B$ 的子集 $D$,使得 $D+D \subseteq 2(A+B)$ 且 $|D| \geqslant \dfrac{|A||B|}{2 n}$ 其中,$|X|$ 表示有限集 $X$ 的元素个数. |
2022-04-17 19:29:52 |
19650 | 5d1c6b39210b280220ed55f2 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 对于任意 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$,${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\geqslant m\left( ac+bd+bc \right)$ 恒成立,求 $m$ 的最大值. | 2022-04-17 19:28:52 |
19649 | 5d1c4a46210b280220ed55a3 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 给定实数 $r \in(0,1)$.证明:若 $n$ 个复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}$ 满足 $\left|z_{k}-1\right| \leqslant r(k=1,2, \cdots, n)$,则 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\right|\left|\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{z_{n}}\right|\geqslant n^{2}\left(1-r^{2}\right)$. | 2022-04-17 19:28:52 |
19648 | 5d1c4b28210b28021fc77dc4 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() |
2022-04-17 19:27:52 |
19647 | 5d1c4e72210b28021fc77dcc | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 给定整数 $n\geqslant 5$.求最小的整数 $m$,使得存在两个由整数构成的集合 $A、B$,同时满足下列条件: (1)$|A|=n,|B|=m, $ 且 $ A \subseteq B$; (2)对集合 $B$ 中任意两个不同元素 $x,y$,有 $x+y \in B$ 当且仅当 $x, y \in A$. |
2022-04-17 19:27:52 |
19646 | 5d1c5251210b28021fc77dd4 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 求具有下述性质的所有整数 $k$:存在无穷多个正整数 $n$,使得 $(n+k) \nmid C_{2 n}^{n}$. | 2022-04-17 19:27:52 |
19645 | 5d1c559a210b280220ed55b8 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 某次会议共有 $30$ 人参加,其中每个人在其余人中至多有五位熟人;任意五人中,至少有两人不是熟人.求最大的正整数 $k$,使得在满足上述条件的 $30$ 人中总存在 $k$ 人,两两不是熟人. | 2022-04-17 19:26:52 |
19644 | 5d1c5651210b28021fc77ddd | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设非负整数的无穷数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots$ 满足:对任意正整数 $m,n$,均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2 m} a_{i n} \leqslant m$.证明:存在正整数 $k、d$,满足 $\sum_\limits{i=1}^{2 k} a_{i d}=k-2014$. | 2022-04-17 19:26:52 |
19643 | 5d1d9b0b210b280220ed5725 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 实数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ 满足:$x_{1}=y_{1}=\sqrt{3}$,且对所有的 $n \geqslant 1$\[x_{n+1}=y_{n}+\sqrt{1+x_{n}^{2}},\quad y_{n+1}=\frac{y_{n}}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}}\]证明:$2<x_{n} y_{n}<3$ 对所有 $n>1$ 成立。 |
2022-04-17 19:26:52 |
19642 | 5d1d9eff210b28021fc77f54 | 高中 | 解答题 | 高中习题 | 9名同学参加质心数学活动时被分到同一个组,他们任两个人或者之前认识,或者之前不认识。证明:这9名同学中,要么存在四人两两互相认识,要么存在三个人两两互相不认识。 | 2022-04-17 19:25:52 |
19641 | 5d1d6f28210b28021fc77eb2 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{31}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{31}$ 满足 (1)$a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{31} \leqslant 2015,b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{31} \leqslant 2015$ (2)$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{31}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{31}$. 求 $ S=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|+\cdots+\left|a_{31}-b_{31}\right|$ 的最大值. |
2022-04-17 19:25:52 |
19640 | 5d1d6fb8210b28021fc77eba | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 如图![]() 延长 $AB、DC$ 交于点 $E$,延长 $AD、BC$ 交于点 $F$.设 $\triangle AEF$ 的内切圆在边 $AE、AF$ 上的切点分别为 $S,T$,$\triangle CEF$ 的内切圆在边 $CE、CF$ 上的切点分别为 $U,V$,证明:若 $K、L、M、N$ 四点共圆,则 $S、T、U、V$ 四点共圆. |
2022-04-17 19:25:52 |
19639 | 5d1d7124210b280220ed5687 | 高中 | 解答题 | 自招竞赛 | 设 $p$ 为奇素数,$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{p}$ 为整数.证明以下两个命题等价: (1)存在一个次数不超过 $\dfrac{p-1}{2}$ 的整系数多项式 $f(x)$,使得对每个不超过 $p$ 的正整数 $i$,均有 $f(i) \equiv a_{i}(\bmod p)$. (2)对每个不 超过 $\dfrac{p-1}{2}$ 的正整数 $d$,均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{p}\left(a_{i+d}-a_{i}\right)^{2} \equiv 0(\bmod p)$,其中,下标按模 $p$ 理解,即 $a_{p+n}=a_{n}$. |
2022-04-17 19:24:52 |