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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19618 5d1f58dd210b28021fc7811e 高中 解答题 高中习题 有 $n$ 支球队参加篮球比赛，已比赛了若干场，且每两支球队之间至多比一场。证明：可以将所有球队分成 $A$、$B$、$C$ 三组（允许某些组中没有任何球队），满足以下三个条件：
$(1)$ $A$ 组中的球队互相之间均没有比赛过
$(2)$ $B$ 组中的每支球队均输给过 $A$ 组中的某支球队
$(3)$ $C$ 组中的每支球队均输给过 $B$ 组中的某支球队		 2022-04-17 19:16:52
19617 5d1f596a210b280220ed5963 高中 解答题 高中习题 给定整数 $n \geqslant 5$，求最小的整数 $m$，使得存在两个由整数组成的集合 $A$、$B$，同时满足：
$(1)$ $|A|=n,|B|=m$，且 $A$ 属于 $B$
$(2)$ 对集合 $B$ 中的任意两个元素 $x$、$y$（可以相同），有 $x+y$ 属于 $B$ 当且仅当 $x$、$y$ 属于A		 2022-04-17 19:15:52
19616 5d1f5a95210b28021fc78124 高中 解答题 高中习题 设 $A$ 为有限集，且 $|A| \geqslant 2$，$Q(A)=\left\{\frac{a-b}{c-d} | a, b, c, d \in A, c \neq d\right\}$ 。求最小的实数 $\lambda$，使得 $|Q(A)| \leqslant \lambda|A|^{4}$ 对所有的集合 $A$ 均成立。 2022-04-17 19:15:52
19615 5d1f5ba5210b280220ed596b 高中 解答题 高中习题 给定正整数 $n$，$A_{1},A_{2},\cdots,A_{k}$ 为 ${1,2,\cdots,n}$ 的 $k$ 个不同子集，满足：
$(1)$ $|A_{1}|$ < $|A_{2}|$ < $\cdots$ < $|A_{k}|$；
$(2)$ $A_{1},A_{2},\cdots,A_{k}$ 两两互不包含。
试求 $k$ 的最大值。		 2022-04-17 19:14:52
19614 5d1f5d4f210b280220ed5978 高中 解答题 高中习题 黑板上写有三个数 $1$，$3$，$\sqrt{3}$，现在可以对这三个数进行如下两种操作：
$(1)$ 将数组 $a$、$b$、$c$ 变为 $2c-a$、$2c-b$、$c$
$(2)$ 将数组 $a$、$b$、$c$ 变为 $a$、$b$、$c+n(a-b)$ 其中，$n$ 为整数
通过两种操作能否将黑板上的数变为 $1$，$2$，$\sqrt{3}$		 2022-04-17 19:13:52
19613 5d1f5eed210b280220ed597d 高中 解答题 高中习题 在凸多边形 $A_{0}A_{1}\cdots A_{2015}$ 的顶点上有2015个玻璃球，其余顶点上无球。将下述操作称为一次“转移”：在点 $A_{i}$ 上取一个玻璃球，将其放到与点 $A_{i}$ 相邻的顶点上，并同时在点 $A_{j}$ 上取一个玻璃球，将其放到与点 $A_{j}$ 相邻的顶点上（$i,j=0,1,\cdots,2015,$ 允许 $i=j$）。是否能经过适当的有限次转移后，在顶点 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{2015}$ 上各恰有一个玻璃球？ 2022-04-17 19:13:52
19612 5d1f5f2b210b280220ed5982 高中 解答题 高中习题 找出所有的整数 $m$，使得 $m\times m$ 的正方形可被分割成五个矩形自块，使得其各边长恰为 $1,2,\cdots,10$ 的一个排列。 2022-04-17 19:12:52
19611 5d1f5fc4210b280220ed5987 高中 解答题 高中习题 设2015个实数 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{2015}$ 满足 $|x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2015}|=1$，且 $|xk| \leqslant 1008(k=1,2,\cdots,2015)$
证明：存在 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{2015}$ 的排列 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{2015}$，使得 $|y_{1}+2y_{2}+\cdots+2015y_{2015}| \leqslant 1008$		 2022-04-17 19:12:52
19610 5d1f6098210b280220ed598e 高中 解答题 高中习题 某国科学院中的999名院士讨论若干科学问题，对于每个问题恰有三名院士感兴趣，每两名院士恰有一个问题他们均感兴趣。证明：存在250个科学问题使得每名院士对其中至多一个问题感兴趣。 2022-04-17 19:11:52
19609 5d21accf210b280220ed5996 高中 解答题 高中习题 设 $x,y,z \in \mathbf{R_{+}}$，$x+y+z+t=2$ 。证明：$\frac{2x+1}{y^{2}+y+\frac{5}{4}}+\frac{2y+1}{z^{2}+z+\frac{5}{4}}+\frac{2z+1}{t^{2}+t+\frac{5}{4}}+\frac{2t+1}{x^{2}+x+\frac{5}{4}} \geqslant 4$ 2022-04-17 19:10:52
19608 5d21afd0210b280220ed599c 高中 解答题 高中习题 正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=abc$，证明：$\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ac-1} \geqslant \frac{2}{1+a^{2}}+\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{2}{1+c^{2}}$ 2022-04-17 19:09:52
19607 5d21b1bc210b28021fc78141 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 为正实数，证明：$\frac{a^{\sqrt{3}}}{(a+b)^{\sqrt{3}}}+\frac{b^{\sqrt{3}}}{(b+c)^{\sqrt{3}}}+\frac{c^{\sqrt{3}}}{(c+a)^{\sqrt{3}}}$ 2022-04-17 19:08:52
19606 5d21b242210b280220ed59a2 高中 解答题 高中习题 设正实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca+abc=4$ 。证明：$3 \leqslant ab+bc+ca \leqslant a+b+c$ 2022-04-17 19:07:52
19605 5d21b981210b28021fc78158 高中 解答题 高中习题 $(1)$ 若 $x,y,z,w \in \mathbf{R}$，且 $x+y+z+w=\pi$，求 $\cos{x}+\cos{y}+\cos{z}+\cos{w}$ 的最大值与最小值
$(2)$ 若 $ a_{i}\in \mathbf{R} $，且 $ \sum_\limits{i=1}^{n}{a_{i}}=\pi(n \geqslant 6)$，求 $ \sum_\limits{i=1}^{n}{\cos{a_{i}}}$ 的最大值和最小值		 2022-04-17 19:07:52
19604 5d21c0b8210b28021fc7815e 高中 解答题 高中习题 给定正整数 $n(n>1)$，且 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \in [a,a+1](a \in \mathbf{R})$ 。证明：$\frac{1}{n}\sum_\limits{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-(\frac{1}{n}\sum_\limits{i=1}^{n}{x_{i}})^{2} \leqslant \frac{1}{4}$ 2022-04-17 19:06:52
19603 5d21c1e9210b280220ed59b6 高中 解答题 高中习题 实数 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}(n \geqslant 3)$ 满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，且 $2a_{k} \leqslant a_{k-1}+a_{k+1}(k=2,3,\cdots,n-1)$ 。证明：$|a_{k}| \leqslant \frac{n+1}{n-1} \max\{|a_{1}|,|a_{n}|\}$，其中 $k=2,3,\cdots,n-1$ 2022-04-17 19:05:52
19602 5d21c70a210b28021fc78171 高中 解答题 高中习题 已知 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 均为正实数，给出关于 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的 $n$ 元方程组
$\left\{\begin{array}{l}{x_{0}+\left(a_{1}-2\right) x_{1}+x_{2}=0} \\ {x_{1}+\left(a_{2}-2\right) x_{2}+x_{3}=0} \\ {\cdots \cdots} \\ {x_{n-1}+\left(a_{n}-2\right) x_{n}+x_{n+1}=0}\end{array}\right.$
其中，$x_{0}=x_{n+1}=0$
若次方程组有一组不全为零的实数解 $(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$，证明：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} \geqslant \frac{4}{n+1}$		 2022-04-17 19:04:52
19601 5d21c88b210b280220ed59ca 高中 解答题 高中习题 若对于同时满足：
$(1)a_{1}a_{2}\cdots a_{2015}=b_{1}b_{2}\cdots b_{2015}$
$(2)\sum_\limits{1 \leqslant i<j \leqslant 2015}\left|a_{i}-a_{j}\right| \leqslant \sum_\limits{1 \leqslant i<j \leqslant 2015}\left|b_{i}-b_{j}\right|$
的任意正数 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2015},b_{1},b_{2},\cdots,b_{2015}$，总有 $\sum_\limits{i=1}^{2015} a_{i} \leqslant \lambda \sum_\limits{i=1}^{2015} b_{i}$ 。
试求正数 $\lambda$ 的最小值。		 2022-04-17 19:04:52
19600 5d21c9eb210b280220ed59d0 高中 解答题 高中习题 设 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}(n \geqslant 1)$ 为不小于 $1$ 的实数，记 $A=1+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ 。定义：$x_{0}=1,x_{k}=\frac{1}{1+a_{k}x_{k-1}}(1 \leqslant k\leqslant n)$ 。证明：$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>\frac{n^{2}A}{n^{2}+A^{2}}$ 2022-04-17 19:03:52
19599 5d21ca1d210b280220ed59d5 高中 解答题 高中习题 设 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}(n \geqslant 1)$ 为不小于 $1$ 的实数，记 $A=1+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ 。定义：$x_{0}=1,x_{k}=\frac{1}{1+a_{k}x_{k-1}}(1 \leqslant k\leqslant n)$ 。证明：$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>\frac{n^{2}A}{n^{2}+A^{2}}$ 2022-04-17 19:02:52
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