设正整数 $q$ 不为完全立方数证明：存在正实数 $c$，使得对任意正整数 $n$，均有 $\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{n q^{\frac{2}{3}} \right\} \geqslant c n^{-\frac{1}{2}}$，其中，$\{x\}$ 表示实数 $x$ 的小数部分．
【难度】
【出处】
2017第33届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$c=\left(13 q^{\frac{4}{3}}\right)^{-1}$ 满足要求．反证法．
假设存在正整数 $n$ 满足 $\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{n q^{\frac{2}{3}}\right\}<c n^{-\frac{1}{2}}$．
记 $l=\left[n q^{\frac{2}{3}}\right], m=\left[n q^{\frac{1}{3}}\right]$．
先证明：存在整数 $r、s、t$ 满足 $r^{2}+s^{2} \neq 0,|r| \leqslant \sqrt{n},|s| \leqslant \sqrt{n},r l+s m+t n=0$
事实上，考虑整数对的集合 $S=\{(u, v) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} | 0 \leqslant u, v \leqslant \sqrt{n}\}$．
注意到，$|S|=([\sqrt{n}]+1)^{2}>n$．
则存在集合 $S$ 中不同的数对 $\left(u_{1}, v_{1}\right),\left(u_{2}, v_{2}\right)$ 满足 $u_{1} l+v_{1} m \equiv u_{2} l+v_{2} m(\bmod n)$．
取 $r=u_{1}-u_{2}, s=v_{1}-v_{2}, t=-\dfrac{r l+s m}{n}$，既满足要求．
接下来考虑函数 $F(x)=r^{3} x^{6}+s^{3} x^{3}+t^{3}-3 r s t x^{3}$．
则 $F\left(q^{\frac{1}{3}}\right)$ 为整数．
设 $f(x)=r x^{2}+s x+t, \omega=e^{\frac{2 \pi i}{3}}$．
易验证 $F(x)=f(x) f(\omega x) f\left(\omega^{2} x\right)$．
由于 $q$ 不为完全立方数，则 $q^{\frac{1}{3}}, \omega q^{\frac{1}{3}},\omega^{2} q^{\frac{1}{3}}$ 均不为 $f(x)=0$ 的根．
故 $F\left(q^{\frac{1}{3}}\right) \neq 0$．
从而，$\left|F\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right| \geqslant 1$．
又 $\left|f\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|=\left|r q^{\frac{2}{3}}+s q^{\frac{1}{3}}+t\right|$
$=\dfrac{1}{n} \left|r\left(n q^{\frac{2}{3}}-l\right)+s\left(n q^{\frac{1}{3}}-m\right) \right|$
$\leqslant \dfrac{1}{n}\left(|r|\left\{n q^{\frac{2}{3}}\right\}+|s|\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}\right)$
$<\dfrac{c}{n}=\dfrac{1}{13 q^{\frac{4}{3}} n},$
$ f\left(\omega q^{\frac{1}{3}}\right) f\left(\omega^{2} q^{\frac{1}{3}}\right)=\left|f\left(\omega q^{\frac{1}{3}}\right)\right|^{2}\leqslant\left(\left|f\left(\omega q^{\frac{1}{3}}\right)-f\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|+\left|f\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|\right)^{2}$
$\leqslant\left(\left|r\left(\omega^{2}-1\right) q^{\frac{2}{3}}\right|+\left|s(\omega-1) q^{\frac{1}{3}}\right|+\left(13 q^{\frac{4}{3}} n\right)^{-1} \right)^{2}$
$\leqslant\left(\sqrt{n} \cdot \sqrt{3} q^{\frac{2}{3}}+\sqrt{n} \cdot \sqrt{3} q^{\frac{2}{3}}+\dfrac{1}{13} \sqrt{n} q^{\frac{2}{3}}\right)^{2}<13 q^{\frac{4}{3}} n$
则 $\left|F\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|<1$，矛盾．
假设存在正整数 $n$ 满足 $\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{n q^{\frac{2}{3}}\right\}<c n^{-\frac{1}{2}}$．
记 $l=\left[n q^{\frac{2}{3}}\right], m=\left[n q^{\frac{1}{3}}\right]$．
先证明：存在整数 $r、s、t$ 满足 $r^{2}+s^{2} \neq 0,|r| \leqslant \sqrt{n},|s| \leqslant \sqrt{n},r l+s m+t n=0$
事实上，考虑整数对的集合 $S=\{(u, v) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} | 0 \leqslant u, v \leqslant \sqrt{n}\}$．
注意到，$|S|=([\sqrt{n}]+1)^{2}>n$．
则存在集合 $S$ 中不同的数对 $\left(u_{1}, v_{1}\right),\left(u_{2}, v_{2}\right)$ 满足 $u_{1} l+v_{1} m \equiv u_{2} l+v_{2} m(\bmod n)$．
取 $r=u_{1}-u_{2}, s=v_{1}-v_{2}, t=-\dfrac{r l+s m}{n}$，既满足要求．
接下来考虑函数 $F(x)=r^{3} x^{6}+s^{3} x^{3}+t^{3}-3 r s t x^{3}$．
则 $F\left(q^{\frac{1}{3}}\right)$ 为整数．
设 $f(x)=r x^{2}+s x+t, \omega=e^{\frac{2 \pi i}{3}}$．
易验证 $F(x)=f(x) f(\omega x) f\left(\omega^{2} x\right)$．
由于 $q$ 不为完全立方数，则 $q^{\frac{1}{3}}, \omega q^{\frac{1}{3}},\omega^{2} q^{\frac{1}{3}}$ 均不为 $f(x)=0$ 的根．
故 $F\left(q^{\frac{1}{3}}\right) \neq 0$．
从而，$\left|F\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right| \geqslant 1$．
又 $\left|f\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|=\left|r q^{\frac{2}{3}}+s q^{\frac{1}{3}}+t\right|$
$=\dfrac{1}{n} \left|r\left(n q^{\frac{2}{3}}-l\right)+s\left(n q^{\frac{1}{3}}-m\right) \right|$
$\leqslant \dfrac{1}{n}\left(|r|\left\{n q^{\frac{2}{3}}\right\}+|s|\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}\right)$
$<\dfrac{c}{n}=\dfrac{1}{13 q^{\frac{4}{3}} n},$
$ f\left(\omega q^{\frac{1}{3}}\right) f\left(\omega^{2} q^{\frac{1}{3}}\right)=\left|f\left(\omega q^{\frac{1}{3}}\right)\right|^{2}\leqslant\left(\left|f\left(\omega q^{\frac{1}{3}}\right)-f\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|+\left|f\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|\right)^{2}$
$\leqslant\left(\left|r\left(\omega^{2}-1\right) q^{\frac{2}{3}}\right|+\left|s(\omega-1) q^{\frac{1}{3}}\right|+\left(13 q^{\frac{4}{3}} n\right)^{-1} \right)^{2}$
$\leqslant\left(\sqrt{n} \cdot \sqrt{3} q^{\frac{2}{3}}+\sqrt{n} \cdot \sqrt{3} q^{\frac{2}{3}}+\dfrac{1}{13} \sqrt{n} q^{\frac{2}{3}}\right)^{2}<13 q^{\frac{4}{3}} n$
则 $\left|F\left(q^{\frac{1}{3}}\right)\right|<1$，矛盾．
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