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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19858 5cf5da28210b28021fc76da6 高中 解答题 高中习题 证明：
$\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left( \sin \left(\alpha +\beta \right)+\sin \left( \alpha-\beta \right) \right)$
$\cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\left( \sin \left(\alpha +\beta \right)-\sin \left( \alpha-\beta \right) \right)$
$\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left( \cos \left(\alpha +\beta \right)+\cos \left( \alpha-\beta \right) \right)$
$\sin \alpha \sin \beta =-\dfrac{1}{2}\left( \cos \left(\alpha +\beta \right)-\cos \left( \alpha-\beta \right) \right)$
$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha +\beta}{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$
$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta}{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta }{2}$
$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta}{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$
$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \dfrac{\alpha +\beta}{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta }{2}$		 2022-04-17 19:22:54
19857 5cf5daef210b28021fc76dad 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 是有限集 $X$ 的 $n$ 个子集（非空）设 $b_k$ 是集合 $\{x|x\in X$，存在 $1 \leqslant i_{1}\leqslant i_{2}\cdots \leqslant i_{k} \leqslant n$，使 $x \in A_{i_1} \bigcap A_{i_2} \cdots \bigcap A_{i+k} \}$ 的元素个数，求证 $\displaystyle \prod\limits_{i=1}^{n} b_{i} \leqslant \prod_{i=1}^{n}\left|A_{i}\right|$． 2022-04-17 19:21:54
19856 5cf5d7dc210b280220ed3ddb 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_i(1\leqslant i\leqslant n)$ 是 $(0,1)$ 之间两两不同的数，记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．（$\{x\}=x-[x]$ 表示 $x$ 小数部分）求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left\{x_{i}-x_{j}\right\}^{k},k\in N^{\ast}$ 的最小值． 2022-04-17 19:21:54
19855 5cf60567210b28021fc76ddf 高中 解答题 自招竞赛 地面上有 $10$ 只小鸟在啄食，其中任意 $5$ 只鸟中至少有 $4$ 只在一个圆周上，问有鸟最多的一个圆周上最少有几只鸟？ 2022-04-17 19:21:54
19854 5cf60917210b280220ed3e4d 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述方程 $x^{2 n+1}-y^{2 n+1}=x y z+2^{2 n+1}$ 的所有正整数解组 $(x, y, z, n)$，这里 $n \geqslant 2$ 且 $y \leqslant 5 \cdot 2^{2 n}$． 2022-04-17 19:20:54
19853 5cf60ef1210b28021fc76e18 高中 解答题 自招竞赛 求所有自然数 $n$，使得 $\min\limits _{k \in \mathbf{N}}\left(k^{2}+\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]\right)=1991$ 这里 $\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]$ 表示不超过 $\dfrac{n}{k^{2}}$ 的最大整数，$N$ 是自然数集． 2022-04-17 19:20:54
19852 5cf617cd210b280220ed3ea6 高中 解答题 自招竞赛 $MO$ 牌足球由若干多边形皮块用三种不同颜色的丝线缝制而成，有以下特点：
（1）任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条边用一种颜色的丝线缝合；
（2）足球上每一结点恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线的颜色不同．
求证：可以在这 $MO$ 牌足球的每一结点上放置一个不等于 $1$ 的复数，使得每一多边形皮块的所有顶点上放置的复数的乘积都等于 $1$．		 2022-04-17 19:19:54
19851 5cf77a41210b28021fc76e51 高中 解答题 高中习题 利用导数的定义，计算 $y=x^3$，$y=\sqrt{x}$ 的导函数，并写出他们在 $x=t$ 处的切线． 2022-04-17 19:19:54
19850 5cf77b5e210b280220ed3ef3 高中 解答题 高中习题 利用导数的定义，计算 $y=\sin{x}$，$y=\cos{x}$ 的导函数，并写出它们在 $x=t$ 处的切线． 2022-04-17 19:18:54
19849 5cf87274210b280220ed3f0d 高中 解答题 高中习题 若数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+1$，且 ${{a}_{1}}=1$，求数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:18:54
19848 5cf87295210b28021fc76e63 高中 解答题 高中习题 ${{a}_{1}}=1$，${{a}_{n+1}}=3{{a}_{n}}+2$，求数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的通项公式． 2022-04-17 19:17:54
19847 5cf760cd210b280220ed3ecb 高中 解答题 自招竞赛 设方程 $x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}=0$ 的系数都是实数，且适合条件 $0<a_{0} \leqslant a_{1} \leqslant \cdots \leqslant a_{n-1} \leqslant 1$ 已知 $\lambda$ 为此方程的复数根，且适合条件 $|\lambda| \geqslant 1$．试证：$\lambda^{n+1}=1$ 2022-04-17 19:17:54
19846 5cf763b4210b280220ed3ee8 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_{1}, \cdots, x_{n}$ 为非负实数．记 $x_{n+1}=x_{1}, a=\min \{x_{1}, \cdots,x_n\}$．试证：$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^{n} d\frac{1+x_{i}}{1+x_{j+1}} \leqslant n+\dfrac{1}{(1+a)^{2}} \sum_{j=1}^{n}\left(x_{j}-a\right)^{2}$ 且证等式成立当且仅当 $x_{1}=\cdots=x_{n}$． 2022-04-17 19:16:54
19845 5cf88499210b280220ed3f35 高中 解答题 自招竞赛 在平面上画出一个 $9\times 9$ 的方格表，在这些小方格的每一格中都任意填入 $+ 1$ 或 $-1$．下面一种改变填入数字的方式称为作一次变动：对任意一个小方格，凡与此小方格有一条公共边的所有小方格（不包含此格本身）中的数作连乘积，于是每 取一格，就算出一个数．在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放人相应的小方格中．试间是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为 $1$？ 2022-04-17 19:16:54
19844 5cf8b564210b280220ed4008 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是奇数，试证明：存在 $2n$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} ; b_{1},b_{2}, \cdots, b_{n}$，使得对任意一个整数 $k, 0<k<n$，下列 $3n$ 个数 $a_{i}+a_{i+1}, a_{i}+b_{i}, b_{i}+b_{i+k}$（其中 $i=1,2, \cdots, n, a_{n+1}=a_{1}, b_{n+j}=b_{i}, 0<j<n$）被 $3n$ 除时所得余数互不相同． 2022-04-17 19:15:54
19843 5cf8bdd7210b28021fc76ee6 高中 解答题 自招竞赛 给定 $K \in \mathbf{N}$ 及实验 $a>0$，在下列条件 $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r}=k, k_{i} \in \mathbf{N}, 1 \leqslant r \leqslant k$ 下，求 $a^{k_{1}}+a^{k_{2}}+\cdots+a^{k_{r}}$ 的最大值． 2022-04-17 19:15:54
19842 5cf8c4a4210b280220ed4031 高中 解答题 自招竞赛 设圆 $K$ 和 $K_1$ 同心，它们的半径分别为 $R$ 和 $R_1$，$R_{1}>R$．四边形 $ABCD$ 内接于圆 $K$，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内接于圆 $K_1$，点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ 分别在射线 $C D, D A, A B, B C$ 上，求证：$\frac{S_{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{S_{A B C D}} \geqslant \frac{R_{1}^{2}}{R^{2}}$ 2022-04-17 19:14:54
19841 5cf8c9ec210b280220ed4049 高中 解答题 自招竞赛 给定集 $S=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{1 993}\right\}$，其中 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{1993}$ 是非零复数（可看做平面上的非零向散）．求证：可以把 $S$ 中的元素分成若干组，使得
（1）$ S$ 中的每个元素属于且仅属千其中的一组；
（2）每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 $90^\circ$；
（3）将任意两组中复数分别求和，所得和数之间的夹角大于 $90^\circ$．		 2022-04-17 19:14:54
19840 5cf8cd2b210b280220ed4058 高中 解答题 自招竞赛 $10$ 人到书店买书，已知
（1）每人都买了三种书；
（2）任何两人所买的书，都至少有一种相同．
问购买人数最多的一种书最少有几人购买？说明理由．		 2022-04-17 19:14:54
19839 5cf8d1e1210b280220ed4077 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f :(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$ 满足对任意的 $x>0,y>0,f(x y) \leqslant f(x) f(y)$．试证：对任意的 $x>0, n \in \mathbf{N}$，有 $f\left(x^{n}\right) \leqslant f(x) f\left(x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots f\left(x^{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ 2022-04-17 19:13:54
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