1993第8届CMO试题

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  二试组合部分

略

设共卖出 $m$ 种书，每种书分别有 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$ 个人购买，设购买人最多的一种书有 $x$ 人购买．则有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m} x_{i}=30, x_{i} \leqslant x, i=1,2, \cdots, m$ 考查每两人之间的同种书对的总数，有 $\displaystyle C_{10}^{2} \leqslant \sum\limits_{i=1}^{m} C_{x_{i}}^{2}$ 故 $\displaystyle 45 \leqslant \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{m} x_{i}\left(x_{i}-1\right) \leqslant \frac{x-1}{2} \sum_{i=1}^{m} x_{i}=15(x-1)$ 故 $x \geqslant 4$ 若 $x=4$，则 $x_{i}=4, i=1,2, \cdots, m$，则 $\displaystyle 4|\left(\sum\limits_{i=1}^{m} x_{i}\right)$，即 $4|30$，矛盾，故 $x\geqslant 5$，即购买人数最多的一种书至少有 $5$ 人购买．
另一方面，存在购买人数最多的一种书恰有 $5$ 个人购买的情形：记 $A_i$ 为不同种的书，$i = 1 ,2, \cdots,6$．$10$ 个人购书情形如下
$\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}\right\},\left\{A_{1}, A_{6}, A_{2}\right\}, \{ A_{2}, A_{4}, A_{3} \},\left\{A_{3}, A_{5}, A_{1}\right\}$
$\left\{A_{1}, A_{6}, A_{4}\right\},\left\{A_{1}, A_{5}, A_{4}\right\},\left\{A_{2}, A_{4}, A_{5}\right\}$
$\left\{A_{2}, A_{6}, A_{5}\right\},\left\{A_{3}, A_{5}, A_{6}\right\},\left\{A_{3}, A_{4}, A_{5}\right\}$
故购买人数最多的一种书最少有 $5$ 人购买．