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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19878 5cf4858f210b280220ed3cb7 高中 解答题 高中习题 已知 $\theta_0,\theta_1,\cdots,\theta_n(n\in\mathbb{N}_+)$ 均为实数，$\alpha$ 是方程 $z^n\cos\theta_n+z^{n-1}\cos\theta_{n-1}+\cdots+\cos\theta_0=2$ 的一个复根，证明：$|\alpha|>\dfrac{1}{2}$． 2022-04-17 19:30:54
19877 5cf485f6210b280220ed3cbe 高中 解答题 高中习题 任意给定一个自然数 $k$，一定存在一个整数 $n$，使得 $x^n+x+1$ 被 $x^k+x+1$ 整除，试求这样的有序数对 $(n,k)$． 2022-04-17 19:29:54
19876 5cf0c8d4210b280220ed3b87 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}(n \geqslant 2)$ 都是整数且 $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=1$，求证 $\sum_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}}{\sqrt{1-x_{i}}} \geqslant \dfrac{\sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_{i}}}{\sqrt{n-1}}$ 2022-04-17 19:29:54
19875 5cf0d516210b28021fc76c29 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是复平面上的单位圆周（即模等于 $1$ 的复数的集合），$f$ 是从 $S$ 到 $S$ 的映射，对于任何 $z \in S$，定义 $f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \cdots,, f^{(k)}(z)=\underbrace{f(f(\cdots(f}_{k个f}(z)))),\cdots$ 如果 $c \in S$ 及自然数 $n$ 使得 $f^{(1)}(c) \neq c, f^{(2)}(c) \neq c, \cdots, f^{(n-1)}(c) \neq c, f^{(n)}(c)=c$ 我们就说 $c$ 是 $f$ 的 $n$ -周期点．设 $m$ 是大于 $1$ 的自然数，$f$ 的定义如下 $f(z)=z^{m}, z \in S$ 试计算 $f$ 的 $1989$ -周期点的总数． 2022-04-17 19:28:54
19874 5cf485fa210b28021fc76cdc 高中 解答题 自招竞赛 $f$ 是定义在 $(1,+\infty)$ 上且在 $(1,+\infty)$ 中取值的函数，满足条件：对任何 $x, y>1$ 及 $u, v>0$，都成立 $f\left(x^{u} y^{y}\right) \leqslant f(x)^{\frac{1}{4 u}} f(y)^{\frac{1}{4 v}}$ 试确定所有这样的函数 $f$． 2022-04-17 19:28:54
19873 5cf49027210b28021fc76cfc 高中 解答题 自招竞赛 如图，在凸四边形 $ABCD$ 中，$AB$ 与 $CD$ 不平行，圆 $O_1$ 过 $A,B$ 且与边 $CD$ 相切于 $P$，圆 $O_2$ 过 $C,D$ 且与边 $AB$ 相切于 $Q$，圆 $O_1$ 与圆 $O_2$ 相交于 $E,F$．求证：$EF$ 平分线段 $PQ$ 的充分必要条件是 $BC\parallel AD$． 2022-04-17 19:27:54
19872 5cf49505210b280220ed3d00 高中 解答题 自招竞赛 设 $x$ 是一个自然数．若一串自然数 $x_{0}=1, x_{1}, x_{2}, \cdots,x_{l-1}, x_{l}=x$，满足 $x_{i-1}<x_{i}, x_{i-1} | x_{i}, i=1,2, \cdots, l$．则称 $\{x_{0},x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{l} \}$ 为 $x$ 的一条因子链，$l$ 为该因子链的长度．$L(x)$ 与 $R(x)$ 分别表示 $x$ 的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于 $x=5^{k} \times 31^{m} \times 1990^{n}$（k，m，n是自然数），试求 $L(x)$ 与 $R(x)$． 2022-04-17 19:27:54
19871 5cf49c53210b280220ed3d17 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)$ 对 $x\geqslant 0$ 有定义，且满足条件：
（1）对任何 $x, y \geqslant 0, f(x) f(y) \leqslant y^{2} f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{2} f\left(\frac{y}{2}\right)$；
（2）存在常数 $M>0$，当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，$|f(x)| \leqslant M$．
求证：$f(x) \leqslant x^{2}$．		 2022-04-17 19:26:54
19870 5cf4b5cc210b28021fc76d2e 高中 解答题 自招竞赛 设 $X$ 是一个有限集合，法则 $f$ 使得 $X$ 的每一个偶子集 $E$（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 $f(E)$，且满足条件：
（Ⅰ）存在一个偶子集 $D$，使得 $f(D)>1990$；
（Ⅱ）对于 $X$ 的任意两个不相交的偶子集 $A,B$，有 $f(A \cup B)=f(A)+f(B)-1990$
求证：存在 $X$ 的子集 $P$ 和 $Q$，满足
（1）$P \cap Q=\varnothing, P \cup Q=X$；
（2）对 $P$ 的任何非偶子集 $S$，有 $f(S)>1990$；
（3）对 $Q$ 的任何偶子集 $T$，有 $f(T) \leqslant 1990$．		 2022-04-17 19:26:54
19869 5cf4bb21210b28021fc76d4b 高中 解答题 自招竞赛 凸 $n$ 边形及 $n-3$ 条边在形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图．求证：当且仅当 $3|n$ 时，存在一剖分图是可以一笔画的圈（即可以从一个顶点出发，经过各线段恰一次，最后回到出发点）． 2022-04-17 19:26:54
19868 5cf5cde7210b280220ed3db3 高中 解答题 高中习题 试证用免职为 $3$ 分和 $5$ 分的邮票可支付 $n(n>7,n\in\mathbb{N})$ 分的邮资． 2022-04-17 19:26:54
19867 5cf5ce33210b280220ed3db9 高中 解答题 高中习题 将质数从小到大编上序号，$2$ 算第一个质数，$3$ 算第二个质数，以此类推，求证：第 $n$ 个质数 $P_n<2^{2^n}$． 2022-04-17 19:25:54
19866 5cf5ce96210b280220ed3dc0 高中 解答题 高中习题 证明如下的恒等式对一切正整数 $n$ 都成立：$$\dfrac{1}{2}+\cos{x}+\cos2x+\cdots+\cos{nx}=\dfrac{\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x}{2\sin\dfrac{1}{2}x}.$$ 2022-04-17 19:25:54
19865 5cf5cf45210b280220ed3dc6 高中 解答题 高中习题 设 $a_i,b_i(i=1,2,\cdots,n)$ 都是正数，令 $\displaystyle A=\sum\limits_{i=1}^n{a_i}$，$\displaystyle B=\sum\limits_{i=1}^n{b_i}$，求证：$$\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_ib_i}{a_i+b_i}\leqslant\dfrac{AB}{A+B}.$$ 2022-04-17 19:25:54
19864 5cf5cfc1210b28021fc76d8d 高中 解答题 高中习题 定义函数列 $f_0,f_1,f_2,\cdots$ 如下：$$f_0(x)=8(x\in\mathbb{R}),$$$$f_{n+1}(x)=\sqrt{x^2+6f_n(x)},x\in\mathbb{R},n=0,1,2,\cdots$$试解方程 $f_n(x)=2x.$ 2022-04-17 19:24:54
19863 5cf5d07f210b280220ed3dcc 高中 解答题 高中习题 $n$ 个半圆的圆心在同一直线 $l$ 上，这 $n$ 个半圆每两个都相交，且都在 $l$ 的同侧，问：这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？ 2022-04-17 19:24:54
19862 5cf5d0d5210b28021fc76d93 高中 解答题 高中习题 证明：存在正整数的无穷数列 $\{a_n\}:a_1<a_2<a_3<\cdots$，使得对所有自然数 $n$，$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$ 都是完全平方数． 2022-04-17 19:23:54
19861 5cf5d201210b28021fc76d9a 高中 解答题 高中习题 设 $\{a_k\}$ 是一无穷实数列，定义$$a_k^{\prime}=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2}(k=1,2,\cdots),$$称 $\{a_k^{\prime}\}$ 是 $\{a_k\}}$ 的均值数列，仿此可以定义 $\{a_k^{\prime\prime}\}$ 为 $\{a_k^{\prime}\}$ 的均值数列，并称为 $\{a_k\}$ 的二阶均值数列．若 $\{a_k\}$ 及其各级均值数列都是整数列，则称 $\{a_k\}$ 为好数列，求证：若 $\{a_k\}$ 是好数列，则 $\{a_k^2\}$ 也是好数列． 2022-04-17 19:23:54
19860 5cf5d64b210b280220ed3dd5 高中 解答题 自招竞赛 给定 $\odot O$ 及内部两点 $A,B$，求满足 在 $\odot O$ 上的点 $P$，过 $OP$ 平分 $\angle APB$ 的 $P$ 点个数的最大值（此处约定若 $O,P,A,B$ 四点共线时，也称 $OP$ 平分 $\angle APB$）． 2022-04-17 19:22:54
19859 5cf5d959210b280220ed3de4 高中 解答题 自招竞赛 设多项式 $f(x , y, z)=\sum_{i , j, k} C_{i, j, k} x^{i} y^{j} z^{k}$，定义其次数 $d$ 使 $d=\max\left\{i+j+k | c_{i, j, k} \neq 0\right\}$．定义 $A$ 是有限实数集．记 $S=\{(x, y, z) | f(x, y, z)=0, x \in A , y \in A, z \in A\}$ 求证：$|s| \leqslant d \cdot|A|^{2}$（$|x|$ 表示集合 $x$ 中元素的个数）． 2022-04-17 19:22:54
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