设 $n$ 是奇数，试证明：存在 $2n$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} ; b_{1},b_{2}, \cdots, b_{n}$，使得对任意一个整数 $k, 0<k<n$，下列 $3n$ 个数 $a_{i}+a_{i+1}, a_{i}+b_{i}, b_{i}+b_{i+k}$（其中 $i=1,2, \cdots, n, a_{n+1}=a_{1}, b_{n+j}=b_{i}, 0<j<n$）被 $3n$ 除时所得余数互不相同．
【难度】
【出处】
1993第8届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
下面的 $2n$ 个数是满足题设的 $a_{1}=1, a_{2}=4, \cdots, a_{n}=3 n-2,b_{1}=2, b_{2}=5, \cdots, b_{n}=3 n-1$
（1）对于满足 $1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant k \leqslant n-1$ 的整数 $i,k$，都有 $a_{i}+a_{i+1} \equiv 2(\bmod 3), a_{i}+b_{i} \equiv 0(\bmod 3), b_{i}+b_{i+k}=1(\bmod 3)$．
故不存在不同的 $i_{1}, i_{2}, i_{3}$ 及 $k$ 使下面的任一式成立
$a_{i_{1}}+a_{i_{1}+1} \equiv a_{i_{2}}+b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$
$a_{i_{1}}+a_{i_{1}+1}\equiv a_{i_{3}}+b_{i_{3}+k}(\bmod 3 n)$
$a_{i_{2}}+b_{i_{2}} \equiv b_{i_{3}}+b_{i_{3}+k}(\bmod 3 n)$
（2）若存在不同的 $i_1,i_2$，使 $b_{i_{1}}+b_{i_{1}+k} \equiv b_{i_{2}}+b_{i_{2}+k}(\bmod 3 n)$ 则 $b_{i_{1}}+b_{i_{1}}+3 k \equiv b_{i_{2}}+b_{i_{2}}+3 k(\bmod 3 n),2b_{i_{1}} \equiv 2 b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 因 $n$ 为奇数，$(2,3n)=1$ 故 $b_{i_{1}} \equiv b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 因 $0<b_{i_{1}}, b_{i_{2}}<3 n$，故 $b_{i_{1}}=b_{i_{2}}, i_{1}=i_{2}$，与 $i_{1} \neq i_{2}$ 矛盾，故对任不同的 $i_{2}, i_{2}, k$ 有 $b_{i_{1}}+b_{i_{1}+k} \neq b_{i_{2}}+b_{i_{2}+k}(\bmod 3 n)$
（3）类似（2）可证，对不同的 $i_1,i_2$ 有 $a_{i_{1}}+a_{i_{1}+1} \neq a_{i_{2}}+a_{i_{2}+1}(\bmod 3 n)$
（4）若存在不同的 $i_1,i_2$ 使 $a_{i_{1}}+b_{i_{1}}=a_{i_{2}}+b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 则 $a_{i_{1}}+a_{i_{1}}+1 \equiv a_{i_{2}}+a_{i_{1}}+1(\bmod 3 n)$ 则2 $a_{i_{1}} \equiv 2 a_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 则 $i_{1}=i_{2}$，矛盾，故对不同的 $i_1,i_2$，有 $a_{i_{1}}+b_{i_{1}} \neq a_{i_{2}}+b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$
（1）对于满足 $1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant k \leqslant n-1$ 的整数 $i,k$，都有 $a_{i}+a_{i+1} \equiv 2(\bmod 3), a_{i}+b_{i} \equiv 0(\bmod 3), b_{i}+b_{i+k}=1(\bmod 3)$．
故不存在不同的 $i_{1}, i_{2}, i_{3}$ 及 $k$ 使下面的任一式成立
$a_{i_{1}}+a_{i_{1}+1} \equiv a_{i_{2}}+b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$
$a_{i_{1}}+a_{i_{1}+1}\equiv a_{i_{3}}+b_{i_{3}+k}(\bmod 3 n)$
$a_{i_{2}}+b_{i_{2}} \equiv b_{i_{3}}+b_{i_{3}+k}(\bmod 3 n)$
（2）若存在不同的 $i_1,i_2$，使 $b_{i_{1}}+b_{i_{1}+k} \equiv b_{i_{2}}+b_{i_{2}+k}(\bmod 3 n)$ 则 $b_{i_{1}}+b_{i_{1}}+3 k \equiv b_{i_{2}}+b_{i_{2}}+3 k(\bmod 3 n),2b_{i_{1}} \equiv 2 b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 因 $n$ 为奇数，$(2,3n)=1$ 故 $b_{i_{1}} \equiv b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 因 $0<b_{i_{1}}, b_{i_{2}}<3 n$，故 $b_{i_{1}}=b_{i_{2}}, i_{1}=i_{2}$，与 $i_{1} \neq i_{2}$ 矛盾，故对任不同的 $i_{2}, i_{2}, k$ 有 $b_{i_{1}}+b_{i_{1}+k} \neq b_{i_{2}}+b_{i_{2}+k}(\bmod 3 n)$
（3）类似（2）可证，对不同的 $i_1,i_2$ 有 $a_{i_{1}}+a_{i_{1}+1} \neq a_{i_{2}}+a_{i_{2}+1}(\bmod 3 n)$
（4）若存在不同的 $i_1,i_2$ 使 $a_{i_{1}}+b_{i_{1}}=a_{i_{2}}+b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 则 $a_{i_{1}}+a_{i_{1}}+1 \equiv a_{i_{2}}+a_{i_{1}}+1(\bmod 3 n)$ 则2 $a_{i_{1}} \equiv 2 a_{i_{2}}(\bmod 3 n)$ 则 $i_{1}=i_{2}$，矛盾，故对不同的 $i_1,i_2$，有 $a_{i_{1}}+b_{i_{1}} \neq a_{i_{2}}+b_{i_{2}}(\bmod 3 n)$
答案
解析
备注
