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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19838 5cf8d693210b28021fc76f21 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle{ABC}$ 中，$\angle{BCA}=90^{\circ}$，则有 $AC^2+BC^2=AB^2$；类比到三维空间中，你能得到什么结论？请给出证明． 2022-04-17 19:13:54
19837 5cfdbad5210b280220ed40d1 高中 解答题 自招竞赛 $n(n \geqslant 4)$ 个盘子里放有总数不少于 $4$ 的糖块，从任选的两个盘子中各取一块糖，放入另一个盘子中去，称为一次操作问能否经过有限次操作，把所有糖块集中到一个盘子里去？证明你的结论． 2022-04-17 19:12:54
19836 5cfdbc9b210b28021fc76f55 高中 解答题 自招竞赛 求适合以下条件的所有函数 $f :[1,+\infty) \rightarrow[1,+\infty)$．
（1）$f(x) \leqslant 2(x+1)$；
（2）$f(x+1)=\frac{1}{x}\left((f(x))^{2}-1\right)$．		 2022-04-17 19:11:54
19835 5cfdc2ab210b28021fc76f7f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(z)=C_{0} z^{n}+C_{1} z^{n-1}+C_{2} z^{n-2}+\cdots+C_{n-1} z+C_{n}$ 是一个 $n$ 次复系数多项式．求证：一定存在一个复数 $z_0,\left|z_{0}\right| \leqslant 1$，并且满足 $\left|f\left(z_{0}\right)\right| \geqslant\left|C_{0}\right|+\left|C_{n}\right|$． 2022-04-17 19:11:54
19834 5cfe6fee210b28021fc7702e 高中 解答题 高中习题 已知三棱锥三个侧棱长度相等，求证：顶点到底面投影为底面三角形的外心． 2022-04-17 19:10:54
19833 5cfe726f210b280220ed4219 高中 解答题 高中习题 已知四面体 $ABCD$ 中，$AB\bot{CD}$，$AC\bot{BD}$，求证： 2022-04-17 19:10:54
19832 5cfe7347210b280220ed421f 高中 解答题 高中习题 在正三棱柱 $ABC-{A_1}{B_1}{C_1}$ 中，若 $AB=\sqrt2B{B_1}$，求证：$A{B_1}\bot$ ${C_1}B$． 2022-04-17 19:10:54
19831 5cfc92b1210b28021fc76f47 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=a\ln{x}+\sqrt{1+x}$， 2022-04-17 19:09:54
19830 5cff1c16210b280220ed424d 高中 解答题 高中习题 请验证反比例函数图像是双曲线，并指出其离心率． 2022-04-17 19:09:54
19829 5cff2dfb210b280220ed4257 高中 解答题 高中习题 在直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\
y=\dfrac{4t}{1+t^2}\end{cases}$，（$t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$．		 2022-04-17 19:08:54
19828 5cff3168210b28021fc77070 高中 解答题 高中习题 在椭圆 ${{x}^{2}}+8{{y}^{2}}=8$ 上求一点 $P$，使 $P$ 到直线 $l:x-y+4=0$ 的距离最小． 2022-04-17 19:07:54
19827 5cff34f0210b280220ed4264 高中 解答题 高中习题 已知 $P\left( x,y \right)$ 在椭圆 $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$，求 $\dfrac{y}{x-4}$ 的范围． 2022-04-17 19:07:54
19826 5cff35c5210b280220ed426b 高中 解答题 高中习题 已知定点 $P\left( 4,4 \right)$，过做两条互相垂直的直线分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于 $A,B$，求 $AB$ 中点 $M$ 轨迹方程． 2022-04-17 19:06:54
19825 5cfe1062210b280220ed41b6 高中 解答题 自招竞赛 设 $2n$ 个实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} ; b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}(n \geqslant 3)$ 满足条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$0<a_{1}=a_{2}, a_{i}+a_{i+1}=a_{i+2}(i=1,2, \cdots, n-2)$；
（3）$0<b_{1} \leqslant b_{2}, b_{i}+b_{i+1} \leqslant b_{i+2}(i=1,2, \cdots, n-2)$．
求证：$a_{n-1}+a_{n} \leqslant b_{n-1}+b_{n}$．		 2022-04-17 19:05:54
19824 5cfe1452210b28021fc76fe4 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbf{N}$ 表示自然数集合，$f : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ 适合条件：$f(1)=1$，且对任何自然数 $n$ 都有
$\left\{\begin{array}{l}{3 f(n) f(2 n+1)=f(2 n)(1+3 f(n))} \\ {f(2 n)<6 f(n)}\end{array}\right.$
试求方程 $f(k)+f(l)=293, k<l$ 的所有解．		 2022-04-17 19:05:54
19823 5cfe2127210b28021fc77011 高中 解答题 自招竞赛 空间有四个球，它们的半径分别为 $2,2,3,3$，每个球都与其余 $3$ 个球外切，另有一个小球与那四个球都外切，求该小球的半径． 2022-04-17 19:04:54
19822 5cfe31c0210b280220ed4204 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{10}$ 是 $10$ 个两两不同的自然数，它们的和为 $1995$，试求 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{9} a_{10}+a_{10} a_{1}$ 的最小值． 2022-04-17 19:03:54
19821 5d01adf5210b280220ed430f 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是大于 $1$ 的奇数，已给 $x_{0}=\left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{n}^{(0)}\right)=(1,0, \cdots, 0,1)$ 设 $x_{i}^{k}=\left\{\begin{array}{l}{0, x_{i}^{(k-1)}=x_{i+1}^{k-1}} \\ {1, x_{i}^{(k-1)} \neq x_{i+1}^{k-1}, i=1,2, \cdots, n}\end{array}\right.$ 其中 $x_{n+1}^{k-1}=x_{1}^{k-1}$，记 $x_{k}=\left(x_{1}^{(k)}, x_{2}^{(k)}, \cdots, x_{n}^{(k)}\right), k=1,2, \cdots$ 若正整数 $m$ 满足 $x_{m}=x_{0}$，求证 $m$ 是 $n$ 的倍数． 2022-04-17 19:03:54
19820 5d01b148210b280220ed4334 高中 解答题 自招竞赛 设 $H$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，由 $ A$ 向以 $ BC$ 为直径的圆作切线 $AP,AQ$，切点分别为 $ P,Q$．求证：$ P,H,Q$ 三点共线． 2022-04-17 19:03:54
19819 5d01b304210b28021fc770dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2, \cdots, 50\}$，求最小自然数 $k$，使 $S$ 的任一 $k$ 元子集中都存在两个不同的数 $a$ 和 $b$，满足 $(a+b) | a b$． 2022-04-17 19:02:54
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