$MO$ 牌足球由若干多边形皮块用三种不同颜色的丝线缝制而成，有以下特点：
（1）任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条边用一种颜色的丝线缝合；
（2）足球上每一结点恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线的颜色不同．
求证：可以在这 $MO$ 牌足球的每一结点上放置一个不等于 $1$ 的复数，使得每一多边形皮块的所有顶点上放置的复数的乘积都等于 $1$．
（1）任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条边用一种颜色的丝线缝合；
（2）足球上每一结点恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线的颜色不同．
求证：可以在这 $MO$ 牌足球的每一结点上放置一个不等于 $1$ 的复数，使得每一多边形皮块的所有顶点上放置的复数的乘积都等于 $1$．
【难度】
【出处】
1991第6届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设三种不同的颜色分别为红、黄、蓝．从球的外面向球看去，在每个结点处三种颜色的丝线，依红、黄、蓝为序时恰有两个转向，即顺时针向与反时针向．
现在，我们先在每条线缝上放置一个复数，方式如下：红色线缝上放置 $1$，黄色线缝上放置 $\left(\cos \dfrac{2 \pi}{3}+i \sin \dfrac{2 \pi}{3}\right)$，蓝色线缝上放置 $\left(\cos \dfrac{4 \pi}{3}+i \sin \dfrac{4 \pi}{3}\right)$．在每条线缝上都依此规则放置数后再来对每个结点放置数规则如下：如果站在球外，正视该点时，该结点处所连接的 $3$ 条线缝上丝线的颜色依顺时针方向正好依次是红、黄、蓝时，该结点处放置复数 $\left(\cos \dfrac{2 \pi}{3}+i \sin \dfrac{2 \pi}{3}\right)$，如果依顺时针方向正好依次是红、蓝、黄时，该结点处放置复数 $\left(\cos \dfrac{4 \pi}{3}+i \sin \dfrac{4 \pi}{3}\right)$，并且依次称这两种结点为第一类结点与第二类结点．
不难验证，在每个结点处，不论是第一类还是第二类结点，从球外正视该点时，依顺时针向选取与此结点相连的两条相结线缝时，后一条线缝上放置的数与前一条线缝上所放置的数的比值都恰好等于在该结点处所放置的数．
于是，在此 $MO$ 牌足球的任一个多边形皮块上，如果将其边界线缝上所放置的复数依逆时针方向依次记为 $z_1,z_2,\cdots,z_m$，则其各个结点，即此多边形顶点上所放置的复数恰好依次是 $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}, \dfrac{z_{3}}{z_{2}}, \cdots, \dfrac{z_{m}}{z_{m-1}}, \dfrac{z_{1}}{z_{m}}$ 显然有 $\dfrac{z_{2}}{z_{1}} \cdot \dfrac{z_{3}}{z_{3}} \cdots \cdots \cdot \dfrac{z_{m}}{z_{m-1}} \cdot \dfrac{z_{1}}{z_{m}}=1$
现在，我们先在每条线缝上放置一个复数，方式如下：红色线缝上放置 $1$，黄色线缝上放置 $\left(\cos \dfrac{2 \pi}{3}+i \sin \dfrac{2 \pi}{3}\right)$，蓝色线缝上放置 $\left(\cos \dfrac{4 \pi}{3}+i \sin \dfrac{4 \pi}{3}\right)$．在每条线缝上都依此规则放置数后再来对每个结点放置数规则如下：如果站在球外，正视该点时，该结点处所连接的 $3$ 条线缝上丝线的颜色依顺时针方向正好依次是红、黄、蓝时，该结点处放置复数 $\left(\cos \dfrac{2 \pi}{3}+i \sin \dfrac{2 \pi}{3}\right)$，如果依顺时针方向正好依次是红、蓝、黄时，该结点处放置复数 $\left(\cos \dfrac{4 \pi}{3}+i \sin \dfrac{4 \pi}{3}\right)$，并且依次称这两种结点为第一类结点与第二类结点．
不难验证，在每个结点处，不论是第一类还是第二类结点，从球外正视该点时，依顺时针向选取与此结点相连的两条相结线缝时，后一条线缝上放置的数与前一条线缝上所放置的数的比值都恰好等于在该结点处所放置的数．
于是，在此 $MO$ 牌足球的任一个多边形皮块上，如果将其边界线缝上所放置的复数依逆时针方向依次记为 $z_1,z_2,\cdots,z_m$，则其各个结点，即此多边形顶点上所放置的复数恰好依次是 $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}, \dfrac{z_{3}}{z_{2}}, \cdots, \dfrac{z_{m}}{z_{m-1}}, \dfrac{z_{1}}{z_{m}}$ 显然有 $\dfrac{z_{2}}{z_{1}} \cdot \dfrac{z_{3}}{z_{3}} \cdots \cdots \cdot \dfrac{z_{m}}{z_{m-1}} \cdot \dfrac{z_{1}}{z_{m}}=1$
答案
解析
备注
