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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19818 5d01b588210b280220ed4357 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ 适合条件 $f\left(x^{3}+y^{3}\right)=(x+y)\left((f(x))^{2}-f(x) f(y)+(f(y))^{2}\right)$ ① $x,y\in\mathbf R$
试证：对一切 $x\in\mathbf R$，都有 $f(1996 x)=1996 f(x)$		 2022-04-17 19:01:54
19817 5d01b897210b28021fc77105 高中 解答题 自招竞赛 $8 $ 位歌手参加艺术节，准备为他们安排 $m$ 次演出，每次由其中 $4$ 位登台表演，要求 $8$ 位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多．请设计一种方案，使得演出的次数 $m$ 最少． 2022-04-17 19:01:54
19816 5d01bb54210b280220ed439b 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}, B C=1$．求 $\triangle ABC$ 的内解三角形（三顶点分别在三边上的三角形）的最长边的最小值． 2022-04-17 19:00:54
19815 5d01f5c9210b28021fc7718c 高中 解答题 自招竞赛 记 $P(x)$ 是关于 $x$ 的多项式．求证： 2022-04-17 19:59:53
19814 5d01f565210b280220ed443e 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $n$，求证 $x=0$ 是方程 $\displaystyle e^x=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{x^k}{k!}$ 的唯一解 2022-04-17 19:58:53
19813 5d01d22d210b28021fc77172 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是任意凸四边形，$P$ 是型内一点，且 $P$ 到各顶点的连线与四边形过该顶点的两条边的夹角均为锐角．递推定义 $A_{k}, B_{k}, C_{k}$ 和 $D_{k}$ 分别为 $P$ 关于直线 $A_{k-1} B_{k-1},B_{k-1} C_{k-1}, C_{k-1} D_{k-1} $ 和 $ D_{k-1} A_{k-1}$ 的对称点 $(k=2,3,\cdots)$．考察四边形序列 $A_{j} B_{j} C_{j} D_{j}(j=1,2, \cdots)$．
试问：（1）前 $12$ 个四边形中，哪些必定与第 $1997$ 个相似，哪些未必？
（2）假设第 $1997$ 个是圆内接四边形，那么在前 $12$ 个四边形中，哪些必定是圆内接四边形，哪些未必？
对以上问题的回答，肯定的应给证明，未必的应举例说明．		 2022-04-17 19:58:53
19812 5d022737210b280220ed446f 高中 解答题 自招竞赛 求证：存在无穷多个自然数 $m$，使得可将 $1,2,…,3n$ 列成数表
$\begin{array}{llll}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {\cdots} & {b_{n}} \\ {c_{1}} & {c_{2}} & {\cdots} & {c_{n}}\end{array}$
满足如下两个条件：
（1）$a_{1}+b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}=\cdots=a_{n}+b_{n}+c_{n}$ 且为 $6$ 的倍数；
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_n$ 且为 $6 $ 的倍数．		 2022-04-17 19:57:53
19811 5d03084c210b28021fc771d7 高中 解答题 自招竞赛 四边形 $ABCD$ 内接于圆，其边 $AB$ 与 $DC$ 的延长线交于点 $P$，$AD$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $Q$，由 $ Q$ 作该圆的两条切线 $QE$ 和 $QF$，切点分别为 $ E,F$．
求证：$P,E,F$ 三点共线．		 2022-04-17 19:56:53
19810 5d030c20210b280220ed44cc 高中 解答题 自招竞赛 设 $A=\{1,2,3, \cdots, 17\}$．对于映射 $f : A \rightarrow A$，记 $f^{[1]}(x)=f(x), f^{[k+1]}(x)=f\left(f^{[k]}(x)\right)(k \in \mathbf{N})$ 设从 $A$ 到 $A$ 的一一射射f满足条件：存在自然数 $M$，使得
（1）当 $m<M, 1 \leqslant i \leqslant 16$ 时，有 $f^{[m]}(i+1)-f^{[m]}(i) \not\equiv \pm 1(\bmod 17)$，$f^{[m]}(1)-f^{[m]}(17) \not\equiv \pm 1(\bmod 17)$
（2）当 $1 \leqslant i \leqslant 16$ 时，有 $f^{[M]}(i+1)-f^{[M]}(i) \equiv 1$ 或 $-1(\bmod 17)$；$f^{[M]}(1)-f^{[M]}(17)\equiv 1$ 或 $-1(\bmod 17)$
试对满足上述条件的一切 $f$，求所对应的 $M$ 的最大可能值，并证明你的结论．		 2022-04-17 19:56:53
19809 5d032b98210b28021fc77201 高中 解答题 自招竞赛 设非负数列 $a1,a2,\cdots$ 满足条件 $a_{n+m} \leqslant a_{n}+a_{m}, m, n \in \mathbf{N}$
求证：对任意 $n\geqslant m$ 均有 $a_{n} \leqslant m a_{1}+\left(\dfrac{n}{m}-1\right) a_{m}$		 2022-04-17 19:55:53
19808 5d0334ea210b280220ed453a 高中 解答题 自招竞赛 对于给定的大于 $1$ 的正整数 $ n$，是否存在 $2n$ 个两两不同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，同时满足以下两个条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$\displaystyle n-1>\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}>n-1-\dfrac{1}{1998}$．
请说明理由		 2022-04-17 19:54:53
19807 5d0376e7210b28021fc77288 高中 解答题 自招竞赛 求所有大于 $ 3$ 的自然数 $n$，使得 $1+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}$ 整除 $2^{2000}$． 2022-04-17 19:53:53
19806 5d06f486210b280220ed45ef 高中 解答题 自招竞赛 设 $D$ 为锐角 $\triangle ABC$ 内部一点，且满足条件：$DA\cdot DB\cdot AB+ DB\cdot DC\cdot BC + DC\cdot DA\cdot CA = AB\cdot BC\cdot CA$．试确定点 $D$ 的几何位置，并证明你的结论． 2022-04-17 19:53:53
19805 5d06fcf4210b280220ed4610 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 2$，$x_1, x_2,\cdots,x_n$ 均为实数，且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nx^2_i+\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=1$．对于每一个固定的 $k(k\in N,1\leqslant k\leqslant n)$，求 $|x_k|$ 的最大值． 2022-04-17 19:52:53
19804 5d0338a6210b28021fc77245 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2, \cdots, 98\}$．求最小自然数 $n$，使得 $S$ 的任一 $n$ 元子集中都可以选出 $10$ 个数，无论怎样将这 $10$ 个数均分成两组，总有一组中存在一个数与另外 $4$ 个数都互质，而另一组中总有一个数与另外 $4$ 个数都不互质． 2022-04-17 19:52:53
19803 5d072a67210b280220ed4698 高中 解答题 高中习题 求证：正 $9$ 边形的最长对角线等于边长加上最短对角线． 2022-04-17 19:51:53
19802 5c78e959210b284290fc2670 高中 解答题 自招竞赛 求满足 $\dfrac{1}{\sin 45{}^\circ \sin 46{}^\circ }+\dfrac{1}{\sin 47{}^\circ \sin 48{}^\circ }+\cdots +\dfrac{1}{\sin 133{}^\circ \sin 134{}^\circ }=\dfrac{1}{\sin n{}^\circ }$ 的最小正整数 $n$． 2022-04-17 19:50:53
19801 5d073944210b28021fc77362 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x\in[0,2]$，$f(x)=\dfrac{4}{5-x^2}+\dfrac{4}{1+3x^2}+\dfrac{1}{3-x}$，求 $f(x)$ 的取值范围． 2022-04-17 19:50:53
19800 5d0705e1210b28021fc772e8 高中 解答题 自招竞赛 在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle C>\angle B$．点 $D$ 是边 $BC$ 上一 点，使得 $\angle ADB$ 是钝角，$H$ 是 $\triangle ABD$ 的垂心，点 $F$ 在 $ \triangle ABC $ 内部且 在 $ \triangle ABD $ 的外接圆周上．求证：点 $ F $ 是 $ \triangle ABC $ 垂心的充分必要条件是：$ HD $ 平行于 $ CF $ 且 $ H $ 在 $ \triangle ABC$ 的外接圆周上． 2022-04-17 19:49:53
19799 5d07381c210b280220ed4708 高中 解答题 自招竞赛 设 $4\times 4\times 4$ 的大正方体由 $64$ 个单位正方体组成．选取其中的 $16$ 个单位正方体涂成红色，使得大正方体中每个由 $4$ 个单位正方体构成的 $1\times 1\times 4$ 的小长方体中，都恰有 $1$ 个红正方体问 $16$ 个红正方体共有多少种不同取法？说明理由． 2022-04-17 19:49:53
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