地面上有 $10$ 只小鸟在啄食，其中任意 $5$ 只鸟中至少有 $4$ 只在一个圆周上，问有鸟最多的一个圆周上最少有几只鸟？
【难度】
【出处】
1991第6届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先我们证明至少有 $5$ 只鸟在同一个圆周上．如若不然，则这 $10$ 只鸟所可能组成的 $5$ 只鸟组共有 $C_{10}^{5}=252$ 个每个 $5$ 只鸟组中有 $4$ 只鸟共在一个圆周上．但这 $4$ 只鸟总共可属千 $6$ 个 $5$ 只鸟组，于是不同的圆应有 $\dfrac{252}{6}=42$ 个．这 $42$ 个不同的圆总共应有 $42 \times 4=168$ 只鸟站在它们上面，但实际只有 $10$ 只鸟．因而，至少有一只鸟所站的位置属于 $17$ 个圆周．
这 $17$ 个不同的圆周除了公有这只鸟所站的位置外，另有 $3\times 17=51$ 只鸟站在上面，但另外实际上只留下 $9$ 只鸟．于是，至少还有一只鸟站在 $6$ 个不同的圆周上．因而得出这两只鸟共同站在 $6$ 个不同的圆周上，但另外仅余下 $8$ 只鸟，这是不可能的．
其次我们证明：前面所得出的至少有 $5$ 只鸟所在的这个圆周上至少站了 $9$ 只鸟．不妨记 $A,B,C,D,E$ 为站在同一个圆周 $C_1$ 上的 $5$ 只鸟．如果结论不真，则不妨记不在 $C_1$ 上的两只鸟为 $H,K$，则有：
因 $\{A, B, C, H, K\}$ 这 $5$ 只鸟组中有 $4$ 只鸟在一个圆周上，而 $H,K$ 均不在 $C_1$ 上，因而可设 $A, B, H, K$ 同在一个圆 $C_2$ 上，而 $C_{2} \neq C_{1}$ 导致 $C, D, E$ 均不在 $C_2$ 上．
因 $\{C, D, E, H, K\}$ 这 $5$ 只鸟组中有 $4$ 只鸟在一个圆周上，而 $H,K$ 均不在 $C_1$ 上，因而可设 $C, D, H, K$ 同在一个圆 $C_3$ 上，而 $E$ 不在 $C_3$ 上．
于是，考查由 $A, C, E, H, K$ 组成的 $5$ 只鸟组其中任何 $4$ 只鸟站在同一圆周上均导致矛盾，但如任何 $4$ 只鸟不在同一圆周上又与所设矛盾．
故在 $A,B,C,D,E$ 所站的圆周 $C_1$ 之外，至多只能有 $1$ 只鸟．即有鸟最多的一个圆周上至少有 $9$ 只鸟．
这 $17$ 个不同的圆周除了公有这只鸟所站的位置外，另有 $3\times 17=51$ 只鸟站在上面，但另外实际上只留下 $9$ 只鸟．于是，至少还有一只鸟站在 $6$ 个不同的圆周上．因而得出这两只鸟共同站在 $6$ 个不同的圆周上，但另外仅余下 $8$ 只鸟，这是不可能的．
其次我们证明：前面所得出的至少有 $5$ 只鸟所在的这个圆周上至少站了 $9$ 只鸟．不妨记 $A,B,C,D,E$ 为站在同一个圆周 $C_1$ 上的 $5$ 只鸟．如果结论不真，则不妨记不在 $C_1$ 上的两只鸟为 $H,K$，则有：
因 $\{A, B, C, H, K\}$ 这 $5$ 只鸟组中有 $4$ 只鸟在一个圆周上，而 $H,K$ 均不在 $C_1$ 上，因而可设 $A, B, H, K$ 同在一个圆 $C_2$ 上，而 $C_{2} \neq C_{1}$ 导致 $C, D, E$ 均不在 $C_2$ 上．
因 $\{C, D, E, H, K\}$ 这 $5$ 只鸟组中有 $4$ 只鸟在一个圆周上，而 $H,K$ 均不在 $C_1$ 上，因而可设 $C, D, H, K$ 同在一个圆 $C_3$ 上，而 $E$ 不在 $C_3$ 上．
于是，考查由 $A, C, E, H, K$ 组成的 $5$ 只鸟组其中任何 $4$ 只鸟站在同一圆周上均导致矛盾，但如任何 $4$ 只鸟不在同一圆周上又与所设矛盾．
故在 $A,B,C,D,E$ 所站的圆周 $C_1$ 之外，至多只能有 $1$ 只鸟．即有鸟最多的一个圆周上至少有 $9$ 只鸟．
答案
解析
备注
