求满足下述方程 $x^{2 n+1}-y^{2 n+1}=x y z+2^{2 n+1}$ 的所有正整数解组 $(x, y, z, n)$，这里 $n \geqslant 2$ 且 $y \leqslant 5 \cdot 2^{2 n}$．
【难度】
【出处】
1991第6届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，容易看出满足方程的 $x,y$ 必须奇偶性相同，而且 因右边是正数可知 $x>y$，因而 $x-y\geqslant 2$．设 $y=1$，则 $x\geqslant 3$，由于 $(2 x) \geqslant 6$ 及 $z \leqslant 5 \cdot 2^{2 n}$，则如果存在正整数组 $(x, 1, z, n)$ 满足所给方程，则应有
$1= x^{2 n+1}-2^{2 n+1}-x z=(x-2)(x^{2 n}+x^{2 n-1} \cdot 2+\cdots+x^{n} \cdot 2^{n}+\cdots+x \cdot 2^{2 n-1}+2^{2 n} )-x z \\\geqslant(2 n+1) \cdot(2 x)^{n}-x z \geqslant(2 n+1) \cdot 6^{n-1} \cdot 2 x-x \cdot 5 \cdot 2^{2 n}=2^{2 n} x\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)-5\right)$
但 $n\geqslant 2$ 欲此式成立，必须 $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)<5$，这只在 $n=2$ 时才可能成为．将 $n=2, y=1$ 代入原方程得出 $x^{5}-1=x z+2^{5}$ 即 $x\left(x^{4}-z\right)=33$ 由于 $z \leqslant 5 \cdot 2^{2 n}=80, x, z$ 均为正整数，故只能取 $x=3$，从而 $z=70$．得一组解 $(x, y, z, n)=(3,1,70,2)$．设 $y=2$，则 $x \geqslant 4, x y \geqslant 8$，如果存在正整数组 $(x, 2, z, n)$ 满足所给方程，则应有 $ 2^{2 n+1}= x^{2 n+1}-2^{2 n+1}-2 x z \geqslant 2 \cdot(2 n+1) \cdot(2 x)^{n}-2 x z \geqslant 2 \cdot(2 n+1) \cdot 8^{n-1} \cdot 2 x-2 x \cdot 5 \cdot 2^{2 n}\\= 2^{3 n-1}(2 n+1) \cdot x-5 \cdot 2^{2 n+1} \cdot x= 2^{2 n+1} \cdot x\left((2 n+1) \cdot 2^{n-2}-5\right) $
欲此式成立，必须 $(2 n+1) \cdot 2^{n-2}-5 \leqslant 0$，这只有 $n=2$ 时才可能（这时 $(2 n+1) \cdot 2^{n-2}=5 )$．但 $n=2$ 时原方程成为 $x^{5}-2^{5}=2 x z+2^{5}$ 或 $x\left(x^{4}-2 z\right)=64$ 注意到 $x \geqslant 4, z \leqslant 80$，与 $2 z \geqslant x^{4}-16 \geqslant 240$ 矛盾，故 $y= 2$ 时所给方程无解．
设 $y \geqslant 3$，则 $x \geqslant 5, x y \geqslant 15$，如果这时所给方程有正整数组解，则应有 $0=x^{2 n+1}-y^{2 n+1}-x y z-2^{2 n+1}=(x-y)(x^{2 n}+x^{2 n-1} y+\cdots+x^{n} y^{n}+\cdots+x y^{2 n-1}+y^{2 n} )-x y z-2^{2 n+1}\\ \geqslant2(2 n+1)(x y)^{n}-x y z-2^{2 n+1} \geqslant2(2 n+1)(15)^{n-1} \cdot x y-x y \cdot 5 \cdot 2^{2 n}-2^{2 n+1}=\\2^{2 n} x y\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1}-5\right)-2^{2 n+1}=2^{2 n+1}\left(\dfrac{1}{2} x y\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1}-5\right)-1\right)$
由于 $n \geqslant 2,\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1}>3, x y \geqslant 15$，此式不可能成立．故 $y\geqslant 3$ 时所给方程无解．
故满足所给方程的正整数解组只有一个，即 $(x, y, z, n) =(3,1,70,2)$．
$1= x^{2 n+1}-2^{2 n+1}-x z=(x-2)(x^{2 n}+x^{2 n-1} \cdot 2+\cdots+x^{n} \cdot 2^{n}+\cdots+x \cdot 2^{2 n-1}+2^{2 n} )-x z \\\geqslant(2 n+1) \cdot(2 x)^{n}-x z \geqslant(2 n+1) \cdot 6^{n-1} \cdot 2 x-x \cdot 5 \cdot 2^{2 n}=2^{2 n} x\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)-5\right)$
但 $n\geqslant 2$ 欲此式成立，必须 $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(n+\dfrac{1}{2}\right)<5$，这只在 $n=2$ 时才可能成为．将 $n=2, y=1$ 代入原方程得出 $x^{5}-1=x z+2^{5}$ 即 $x\left(x^{4}-z\right)=33$ 由于 $z \leqslant 5 \cdot 2^{2 n}=80, x, z$ 均为正整数，故只能取 $x=3$，从而 $z=70$．得一组解 $(x, y, z, n)=(3,1,70,2)$．设 $y=2$，则 $x \geqslant 4, x y \geqslant 8$，如果存在正整数组 $(x, 2, z, n)$ 满足所给方程，则应有 $ 2^{2 n+1}= x^{2 n+1}-2^{2 n+1}-2 x z \geqslant 2 \cdot(2 n+1) \cdot(2 x)^{n}-2 x z \geqslant 2 \cdot(2 n+1) \cdot 8^{n-1} \cdot 2 x-2 x \cdot 5 \cdot 2^{2 n}\\= 2^{3 n-1}(2 n+1) \cdot x-5 \cdot 2^{2 n+1} \cdot x= 2^{2 n+1} \cdot x\left((2 n+1) \cdot 2^{n-2}-5\right) $
欲此式成立，必须 $(2 n+1) \cdot 2^{n-2}-5 \leqslant 0$，这只有 $n=2$ 时才可能（这时 $(2 n+1) \cdot 2^{n-2}=5 )$．但 $n=2$ 时原方程成为 $x^{5}-2^{5}=2 x z+2^{5}$ 或 $x\left(x^{4}-2 z\right)=64$ 注意到 $x \geqslant 4, z \leqslant 80$，与 $2 z \geqslant x^{4}-16 \geqslant 240$ 矛盾，故 $y= 2$ 时所给方程无解．
设 $y \geqslant 3$，则 $x \geqslant 5, x y \geqslant 15$，如果这时所给方程有正整数组解，则应有 $0=x^{2 n+1}-y^{2 n+1}-x y z-2^{2 n+1}=(x-y)(x^{2 n}+x^{2 n-1} y+\cdots+x^{n} y^{n}+\cdots+x y^{2 n-1}+y^{2 n} )-x y z-2^{2 n+1}\\ \geqslant2(2 n+1)(x y)^{n}-x y z-2^{2 n+1} \geqslant2(2 n+1)(15)^{n-1} \cdot x y-x y \cdot 5 \cdot 2^{2 n}-2^{2 n+1}=\\2^{2 n} x y\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1}-5\right)-2^{2 n+1}=2^{2 n+1}\left(\dfrac{1}{2} x y\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1}-5\right)-1\right)$
由于 $n \geqslant 2,\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1}>3, x y \geqslant 15$，此式不可能成立．故 $y\geqslant 3$ 时所给方程无解．
故满足所给方程的正整数解组只有一个，即 $(x, y, z, n) =(3,1,70,2)$．
答案
解析
备注
