给定集 $S=\left\{z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{1 993}\right\}$，其中 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{1993}$ 是非零复数（可看做平面上的非零向散）．求证：可以把 $S$ 中的元素分成若干组，使得
（1）$ S$ 中的每个元素属于且仅属千其中的一组；
（2）每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 $90^\circ$；
（3）将任意两组中复数分别求和，所得和数之间的夹角大于 $90^\circ$．
（1）$ S$ 中的每个元素属于且仅属千其中的一组；
（2）每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 $90^\circ$；
（3）将任意两组中复数分别求和，所得和数之间的夹角大于 $90^\circ$．
【难度】
【出处】
1993第8届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于集 $S$ 的子集个数是有限的，所以必有一个子集 $A$，使 $A$ 中所有向量的和的模长是各子集中最大的（若最大的不止 一个，则任取其中一个）．设 $A$ 中所有向盘的和为 $a$，旋转坐标轴，使 $a$ 在 $y$ 轴的正方向上，则 $A$ 必是 $S$ 中所有位于上半平面的向量构成的集（在旋转坐标轴后看）．其理由为：若有向量 $p$ 位于上半平面，但 $p \notin A$，则 $A \bigcup\{p\}$ 中所有向量之和在y轴上的分量已大于 $|a|$，模长自然更大于 $|a|$，与 $A$ 的取法矛盾．类似地，若有向量 $q$ 在下半平面，但 $\boldsymbol{q} \in A$，则 $A-\{q \}$ 的向量和的模也将大于 $|a|$，矛盾．故 $A$ 恰为 $S$ 中位于上半平面的向量组成的集合．
这样，$S-A$ 恰是 $S$ 中位于下半平面的向量的集合，在 $ S-A$ 的所有子集中必有一个子集 $B$，使 $B$ 中向量和的模长最大，设其向量和为 $b$，作直线 $l$ 垂直于 $b$，则 $B$ 恰是所有 $S$ 中位于 $s$ 轴与 $l$ 直线夹成之锐角区域内的向量的集合，理由与上面类似．设 $C = S - A -B$，则 $C$ 恰是 $l$ 与 $x$ 轴夹成之锐角区域内 $S$ 的向量的集合．显然，$A, B,C$ 符合题设条件．
这样，$S-A$ 恰是 $S$ 中位于下半平面的向量的集合，在 $ S-A$ 的所有子集中必有一个子集 $B$，使 $B$ 中向量和的模长最大，设其向量和为 $b$，作直线 $l$ 垂直于 $b$，则 $B$ 恰是所有 $S$ 中位于 $s$ 轴与 $l$ 直线夹成之锐角区域内的向量的集合，理由与上面类似．设 $C = S - A -B$，则 $C$ 恰是 $l$ 与 $x$ 轴夹成之锐角区域内 $S$ 的向量的集合．显然，$A, B,C$ 符合题设条件．
答案
解析
备注
