求所有自然数 $n$，使得 $\min\limits _{k \in \mathbf{N}}\left(k^{2}+\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]\right)=1991$ 这里 $\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]$ 表示不超过 $\dfrac{n}{k^{2}}$ 的最大整数，$N$ 是自然数集．
【难度】
【出处】
1991第6届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于当 $k $ 取遍所有自然数时，$k^{2}+\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]$ 的极小值是 $1991$，故对所有自然数 $K$ 有 $k^{2}+\dfrac{n}{k^{2}} \geqslant 1991$ 成立．因而 $ k^{4}-1991 k^{2}+n \geqslant 0(k^{2}-\dfrac{1991}{2} )^{2}+n -\dfrac{1991}{4}^{2}\geqslant 0 $ 当 $k = 32$ 时，$k^{2}-\dfrac{1991}{2}=\dfrac{57}{2}$ 使 $\left(k^{2}-\dfrac{1991}{2}\right)^{2}$ 达到极小值 $\dfrac{57^{2}}{4}$．因而应有 $ n \geqslant \dfrac{1}{4}\left(1991^{2}-57^{2}\right)= \dfrac{1}{4} \cdot(1991+57)(1991-57)=1024 \cdot 967 $ 另一方面，$k^{2}+\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]$ 的极小值是 $1991$ 也意味着存在自然数 $K$ 使 $k^{2}+\dfrac{n}{k^{2}}<1992$ 即 $k^{4}-1992 k^{2}+n<0$ 或 $\left(k^{2}-966\right)^{2}+n-996^{2}<0$ 当 $k= 32$ 时，$\left(k^{2}-996\right)^{2}=28^{2}$ 达到其极小值，故应有 $n \leqslant 996^{2}-28^{2}=1024 \cdot 968, \cdots$ 故所求的自然数 $n$ 满足 $1024 \cdot 967 \leqslant n \leqslant 1024 \cdot 967+1023$
答案
解析
备注
