给定 $K \in \mathbf{N}$ 及实验 $a>0$，在下列条件 $k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{r}=k, k_{i} \in \mathbf{N}, 1 \leqslant r \leqslant k$ 下，求 $a^{k_{1}}+a^{k_{2}}+\cdots+a^{k_{r}}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
1993第8届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
任 $k_{1}, k_{2} \in \mathbf{N}$，因 $a_{1}^{k_{1}+k_{2}-1}+a-a_{1}^{k_{1}}-a^{k_{2}}=a\left(a^{k_{1}-1}-1\right)\left(a^{k_{2}-1}-1\right) \geqslant 0$（当 $a>1$ 时，$a^{k_{1}-1}-1 \geqslant 0, a^{k_{2}-1}-1 \geqslant 0$；当 $0<a \leqslant 1$ 时，$a^{k_{1}-1}-1 \leqslant 0, a^{k_{2}-1}-1 \leqslant 0$），故 $a^{k_{1}}+a^{k_{2}} \leqslant a+a^{k_{1}+k_{2}-1}$ 故 $a^{k_{1}}+a^{k_{2}}+\cdots+a^{k_{r}} \leqslant a+a^{k_{1}+k_{2}-1}+a^{k_{3}}+\cdots+a^{k} \leqslant 2 a+a^{k_{1}+k_{2}+k_{3}-2}+a^{k_{4}}+\cdots+ a^{k} \leqslant \cdots \leqslant(r-1)a+a^{k-r+1}$ 且在 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{r-1}=1, k_{r}=k-r+1$ 时，取得 $(r-1)a+a^{k-r+1}$．故所求最大值为 $(r-1) a+a^{k-r+1}$
答案
解析
备注
