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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19798 5d074068210b28021fc77389 高中 解答题 自招竞赛 设 $a, b, c$ 为 $\triangle ABC$ 的三条边，$a\leqslant b\leqslant c$，$R$ 和 $r$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径和内切圆半径，令 $f=a+b-2 R-2 r$，试用 $\angle C$ 的大小来判定 $f$ 的符号． 2022-04-17 19:48:53
19797 5d0746a7210b28021fc7739a 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n}=\frac{1}{2} n a_{n-1}+\frac{1}{2} n(n-1) a_{n-2}+(-1)^{n}\left(1-\frac{n}{2}\right), n \geqslant 3$．试求 $f_{n}=a_{n}+2 C_{n}^{1} a_{n-1}+3 C_{n}^{2} a_{n-2}+\cdots+(n-1) C_{n}^{a-2} a_{2}+n C_{n}^{n-1} a_{1}$ 的最简表达式． 2022-04-17 19:47:53
19796 5d07506e210b28021fc773b2 高中 解答题 自招竞赛 某乒乓球俱乐部组织交流活动，安排符合以下规则的双打赛程表，规则为：
（1）每名参加者至多属于两个对子；
（2）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；
（3）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇．
统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合称为＂ 赛次集"．
给定由不同的正整数组成的集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right\}$，其中每个数都能被 $6$ 整除．试问最少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为 $A$．请证明你的结论．		 2022-04-17 19:47:53
19795 5d0769bb210b28021fc773ea 高中 解答题 自招竞赛 某次考试有 $5$ 道选择题，每题都有 $4$ 个不同答案供选择，每人每题恰选 $1$ 个答案．在 $2000$ 份答卷中发现存在一个 $ n$，使得任何 $n$ 份答卷中都存在 $4$ 份，其中每两份的答案都至多 $3$ 题相同．求 $n$ 的最小可能值． 2022-04-17 19:46:53
19794 5d08ed9a210b28021fc7742d 高中 解答题 高中习题 在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M(\rho_0,\theta_0)$ 在曲线 $C:\rho=4\sin\theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $OM$ 垂直，垂足为 $P$． 2022-04-17 19:46:53
19793 5d09fde6210b28021fc7745b 高中 解答题 自招竞赛 过点 $\left( -1,0 \right)$ 的直线 $m$ 与抛物线 $y={{x}^{2}}$ 相交于 $A,B$，若△ $AOB$ 的面积为 $3$（其中 $O$ 为坐标原点），求直线 $m$ 的方程． 2022-04-17 19:46:53
19792 5d09fdfe210b28021fc77461 高中 解答题 自招竞赛 求所有的二次实系数多项式 $f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$，使得 $f\left( x \right)|f\left( {{x}^{2}} \right)$． 2022-04-17 19:45:53
19791 5d09fe1e210b28021fc77468 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{a}_{1}}=1$，${{a}_{n+1}}={{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{3}}\left( n+{{a}_{n}} \right)$，求证： 2022-04-17 19:44:53
19790 5d0b34fc210b28021fc7750d 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，在 $C$ 上有四点 $A,B,C,D$ 在同一个圆上，求证：直线 $AC$ 和 $BD$ 要么都不存在，要么斜率互为相反数． 2022-04-17 19:44:53
19789 5d0afa4b210b28021fc77472 高中 解答题 自招竞赛 给定 $a,\sqrt{2} < a < 2$．内接于单位圆 $\Gamma$ 的凸四边形 $ABCD$ 适合以下条件：
（1）圆心在这凸四边形内部；
（2）最大边长是 $ a$，最小边长是 $\sqrt{4-a^2}$．过点 $A,B,C,D$ 依次作圆 $\Gamma$ 的4条切线 $L_{A}, L_{B}, L_{C}, L_{D}$．已知 $L_{A}$ 与 $L_{B}$，$L_{B}$ 与 $L_{C}$，$L_{C}$ 与 $L_{D}$，$L_{D}$ 与 $L_{A}$ 分别交于点 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$．求面积之比 $\dfrac{S_{四边形A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}}{S_{四边形A B C D }}$ 的最大值与最小值．		 2022-04-17 19:43:53
19788 5d0b0f1e210b280220ed4850 高中 解答题 自招竞赛 设 $X=\{1,2, \cdots, 2001\}$．求最小正整数 $m$，适合要求：对 $X$ 的任何一个 $m$ 元子集 $W$，都存在 $u, v \in W$（$u$ 和 $v$ 可以相同），使得 $u+v$ 是 $2$ 的方幂 2022-04-17 19:43:53
19787 5d0b15f0210b28021fc774b3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c$ 是 $7$ 个两两 不同的质数，$a,b,c$ 中有两数之和是 $800$．设 $d$ 是这 $7$ 个质数中最大数与最小数之差．求 $ d$ 的最大可能值． 2022-04-17 19:43:53
19786 5d0b1729210b28021fc774bd 高中 解答题 自招竞赛 将周长为 $24$ 的圆周等分成 $24$ 段，从 $24$ 个分点中选取 $8$ 个点，使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于 $3$ 和 $8$．问满足要求的 $8$ 点组的不同取法共有多少种？说明理由． 2022-04-17 19:42:53
19785 5d0b1e66210b28021fc774d3 高中 解答题 自招竞赛 记 $a=2001$，设 $A$ 是适合下列条件的正整数对 $(m,n)$ 所组成的集合：
（1）$m<2 a$
（2）$2 n |\left(2 a m-m^{2}+n^{2}\right) ;$
（3）$n^{2}-m^{2}+2 m n \leqslant 2 a(n-m)$
令 $f=\dfrac{2 a m-m^{2}-m m}{n}$，求 $\min\limits _{(n, n) \in A}f$ 和 $\max\limits _{(m, n) \in A} f$．		 2022-04-17 19:42:53
19784 5d0b5583210b28021fc77580 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求 $\dfrac{abc}{\left( 1+5a\right)\left( 4a+3b \right)\left( 5b+6c \right)\left( c+18 \right)}$ 的最大值． 2022-04-17 19:41:53
19783 5d0b6ad7210b28021fc7759b 高中 解答题 高中习题 已知 $x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m\in\mathbb{N}^{\ast}$，且 $1<x_1<x_2<\cdots<x_n<y_1<y_2<\cdots<y_m$，$x_1+x_2+\cdots+x_n>y_1+y_2+\cdots+y_m$，求证：$x_1x_2\cdots{x_n}>y_1y_2\cdots y_m$ 2022-04-17 19:40:53
19782 5d0b71d7210b28021fc775a2 高中 解答题 高中习题 求证：${\rm{C}}_{2n+1}^n=3^0{\rm{C}}_{2n-1}^{n-2}+3^1{\rm{C}}_{2n-3}^{n-3}+3^2{\rm{C}}_{2n-5}^{n-4}+\cdots+3^{n-3}{\rm{C}}_5^1+3^{n-2}{\rm{C}}_3^0+3^{n}$ 2022-04-17 19:39:53
19781 5d0b3980210b28021fc7751c 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，$b< c$，$AD$ 是 $\angle A$ 的内角平分线，点 $D$ 在 $BC$ 上．
（1）求在线段 $AB,AC$ 内分别存在点 $E,F$（不是端点）满足 $BE=CF$ 和 $\angle BDE=\angle GDF$ 的充分必要条件（用 $\angle A,\angle B,\angle C$ 表示）；
（2）在点 $E$ 和 $F$ 存在情况下，用 $a,b,c$ 表示 $BE$ 的长．		 2022-04-17 19:39:53
19780 5d0b4331210b280220ed4927 高中 解答题 自招竞赛 设多项式充列 $\left\{p_{n}(x)\right\}$ 满足：$P_{1}(x)=x^{2}-1, P_{2}(x)=2 x\left(x^{2}-1\right)$ 且 $P_{n+1}(x) P_{n-1}(x)=\left(P_{n}(x)\right)^{2}-\left(x^{2}-1\right)^{2}, n=2,3, \cdots$ ①
设 $S_n$ 为 $P_n(x)$ 各项系数的绝对值之和，对于任意正整数 $n$，求非负整数 $k_n$，使得 $2^{-k_n}S_n$ 为奇数．		 2022-04-17 19:38:53
19779 5d0b4fc9210b28021fc77564 高中 解答题 自招竞赛 $18$ 支足球队进行单循环赛，即每轮将 $18$ 支球队分成 $9$ 组，每组的两队赛一场，下一轮重新分组进行比赛，共赛 $17$ 轮，使得每队都与另外 $17$ 支队各赛一场．按任意可行的程序比赛了 $n$ 轮之后，总存在 $4$ 支球队，它们之间总共只赛了 $1$ 场．求 $n$ 的最大可能值． 2022-04-17 19:38:53
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