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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19898 5cef7982210b280220ed3a16 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是给定的不全为 $0$ 的实数，$r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 是实数，如果不等式 $r_{1}\left(x_{1}-a_{1}\right)+r_{2}\left(x_{2}-a_{2}\right)+\cdots+r_{n}\left(x_{n}-a_{n}\right) \leqslant\\\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}-\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$
对任何实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 成立，求 $r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n}$ 的值．		 2022-04-17 19:41:54
19897 5cef83d0210b280220ed3a56 高中 解答题 自招竞赛 设 $C_1,C_2$ 是同心圆，$C_2$ 的半径是 $C_1$ 半径的 $2$ 倍．四边形 $A_1A_2A_3A_4$ 内接于 $C_1$，将 $A_4A_1$ 延长交圆 $C_2$ 于 $B_1$，$A_1A_2$ 延长交圆 $C_2$ 于 $B_2$，$A_2A_3$ 延长交圆 $C_2$ 与 $B_3$，$A_3A_4$ 延长交圆 $C_2$ 与 $B_4$．试证：四边形 $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ 的周长大于等于 $2\times$ 四边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 的周长．并请确定等号成立的条件． 2022-04-17 19:41:54
19896 5cef9653210b28021fc76b78 高中 解答题 自招竞赛 在有限的实数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(*)$ 中，如果有一段数 $a_{k}, \cdots, a_{k+l-1}$ 的算术平均数大于 $1988$，那么我们把这段数叫做一条"龙"，并把 $a_{k}$ 称为这条龙的"龙头"（如果某一项 $a_m>1988$，那么单独这一项也是龙）．假定 $(*)$ 中至少存在一条龙，证明：$(*)$ 中全体可以作为龙头的项的算术平均数也必定大于 $1988$． 2022-04-17 19:40:54
19895 5cf08d3d210b28021fc76ba3 高中 解答题 自招竞赛 设三个正实数 $a,b,c$ 满足 $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}>2(a^{4}+b^{4}+c^{4} )$．求证：$a,b,c$ 一定是某个三角形的三条边长． 2022-04-17 19:40:54
19894 5cf09079210b280220ed3b11 高中 解答题 自招竞赛 给出三个四面体 $A_{i} B_{i} C_{i} D_{i}(i=1,2,3)$，过点 $B_{i}, C_{i}, D_{i}$ 作平面 $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$，分别与棱 $A_{i} B_{i}, A_{i} C_{i}, A_{i} D_{i}$ 垂直 $(i=1,2,3 )$．如果九个平面 $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}(i=1,2,3)$ 相较于一点 $E$，而三点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 在同一直线 $l$ 上，求三个四面体的外接球面的交集．（形状怎样？位置如何？） 2022-04-17 19:39:54
19893 5cf0981d210b28021fc76bc9 高中 解答题 自招竞赛 如 $n$ 是不小于 $3$ 的自然数，以 $f(n)$ 表示不是 $n$ 的因数的最小自然数（例如 $f(12)=5$）．如果 $f(n)\geqslant 3$，又可作 $f(f(n))$．类似地，如果 $f(f(n))\geqslant 3$，又可作 $f(f(f(n)))$ 等．如果 $\underbrace{f\left( f\left( \cdots f\right. \right.}_{k个f}\left( n \right)\left. \left. \cdots \right) \right)=2$，就把 $k$ 叫做 $n$ 的"长度"．
如果用 $l_n$ 表示 $n$ 的长度，试对任意的自然数 $n(n \geqslant 3)$ 求 $l_n$，并证明你的结论．		 2022-04-17 19:38:54
19892 5cf0c2df210b28021fc76bf7 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$，证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 单调递减，在 $(-1,1)$ 单调递增，在 $(1,+\infty)$ 单调递减． 2022-04-17 19:38:54
19891 5cf0cd77210b280220ed3bac 高中 解答题 高中习题 直接写出下列函数的单调性 2022-04-17 19:37:54
19890 5c74ea62210b28428f14cc3e 高中 解答题 自招竞赛 设 $x=\frac{4}{\left( \sqrt{5}+1 \right)\left( \sqrt[4]{5}+1 \right)\left( \sqrt[8]{5}+1 \right)\left( \sqrt[16]{5}+1 \right)}$ 。试求 ${{\left( x+1 \right)}^{48}}$ 。 2022-04-17 19:37:54
19889 5cf0eec7210b280220ed3c02 高中 解答题 高中习题 比较大小 $\dfrac{12^{2018}+1}{12^{2019}+1}$ 和 $\dfrac{12^{2019}+1}{12^{2020}+1}$． 2022-04-17 19:37:54
19888 5cf105ef210b280220ed3c18 高中 解答题 高中习题 设 $a\ge0$，在复数集 $\mathbb{C}$ 中解方程 $z^2+2|z|=a$． 2022-04-17 19:36:54
19887 5cf1068e210b280220ed3c22 高中 解答题 高中习题 对于给定的角 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，试讨论方程 $x^n+x^{n-1}\sin\alpha_1+x^{n-2}\sin\alpha_2+\cdots+x\sin\alpha_{n-1}+\sin\alpha_n=0$ 是否有模大于 $2$ 的复数根？ 2022-04-17 19:35:54
19886 5cf1077b210b280220ed3c2d 高中 解答题 高中习题 证明：实系数多项式 $f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$ 的 $3$ 个根均在左半复平面内（即实部小于 $0$）的充要条件是 $a_i>0(i=1,2,3)$ 且 $a_3<a_1a_2$． 2022-04-17 19:35:54
19885 5cf10887210b280220ed3c38 高中 解答题 高中习题 设复数 $z_k=x_k+y_k{\rm{i}}(k=1,2,\cdots,n)$，$r$ 是 $(z_1^2+z_2^2+\cdots+z_n^2)$ 的平方根的实部的绝对值，求证：$r\leqslant|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|$． 2022-04-17 19:34:54
19884 5cf1093f210b28021fc76c7d 高中 解答题 高中习题 求实数 $a$ 的范围，使对任意实数 $x$ 和任意 $\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，恒有$$(x+3+2\sin\theta\cos\theta)^2+(x+a\sin\theta+a\cos\theta)^2\geqslant\dfrac{1}{8}.$$ 2022-04-17 19:34:54
19883 5cf109ba210b280220ed3c44 高中 解答题 高中习题 是否存在非零复数 $a,b,c$ 及正整数 $h$，使得：只要整数 $k,l,m$ 满足 $|k|+|l|+|m|\ge2007$，就必定有不等式 $|ka+lb+mc|>\dfrac{1}{h}$ 成立？ 2022-04-17 19:33:54
19882 5cea84c6210b280220ed344f 高中 解答题 高中习题 求证：当 $x>0$ 时，$(x+1){\rm{e}}^x+x^2+3x-4>2\ln{x}$． 2022-04-17 19:32:54
19881 5cf48360210b280220ed3ca3 高中 解答题 高中习题 已知关于 $x$ 的二次方程 $a(1+{\rm{i}})x^2+(1+a^2{\rm{i}})+a^2+{\rm{i}}=0$ 有实根，试确定实数 $a$ 的值． 2022-04-17 19:31:54
19880 5cf483cc210b28021fc76ccc 高中 解答题 高中习题 $\alpha,\beta,\gamma$ 为方程 $x^3-4x+2=0$ 的三根，求以 $\dfrac{1}{6}(\alpha^6+\beta^6+\gamma^6)$ 为常数项，以 $\alpha\beta\gamma$ 为一次项系数而二次项系数为 $1$ 的一元二次方程的根． 2022-04-17 19:31:54
19879 5cf484fa210b280220ed3cae 高中 解答题 高中习题 设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是不相等的实数，证明：方程 $\dfrac{1}{x+a_1}+\dfrac{1}{x+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{x+a_n}=0$ 没有虚数根． 2022-04-17 19:30:54
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