已知函数 $f(x)=x^2\ln x$，且满足 $f(x_1)=f(x_2)$，$x_1<x_2$，求证：$1<x_1+x_2<2{\rm e}^{-\frac 12}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x(1+2\ln x),\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left(0,{\rm e}^{-\frac 12}\right)$ 上单调递减，在 $\left({\rm e}^{-\frac 12},+\infty\right)$ 上单调递增．
注意到 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0$ 且 $f(1)=0$，因此\[0<x_1<{\rm e}^{-\frac 12}<x_2<1.\]右侧不等式可以通过构造\[\varphi(x)=f\left(2{\rm e}^{-\frac 12}-x\right)-f(x),\]来证明；左侧可以通过构造函数\[\mu(x)=f(1-x)-f(x)\]来证明．
注意到 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=0$ 且 $f(1)=0$，因此\[0<x_1<{\rm e}^{-\frac 12}<x_2<1.\]右侧不等式可以通过构造\[\varphi(x)=f\left(2{\rm e}^{-\frac 12}-x\right)-f(x),\]来证明；左侧可以通过构造函数\[\mu(x)=f(1-x)-f(x)\]来证明．
答案
解析
备注
