题目 设 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq 0$）． 问题1 若 $|f(0)|\leqslant 1,$ $|f(1)|\leqslant 1,$ $|f(-1)|\leqslant 1,$ 试证明：对于任意 $|x|\leqslant 1,$ 有 $|f(x)|\leqslant \dfrac54;$ 答案1 略 解析1 根据题意，有$$\begin{cases} f(0)=c,\\f(1)=a+b+c,\\f(-1)=a-b+c.\end{cases}$$于是$$\begin{cases} a=\dfrac{f(1)+f(-1)-2f(0)}2,\\b=\dfrac{f(1)-f(-1)}2,\\c=f(0). \end{cases}$$所以$$\begin{split}|f(x)|&=|ax^2+bx+c|\\&=\left|\dfrac{f(1)+f(-1)-2f(0)}2\cdot x^2+\dfrac{f(1)-f(-1)}2\cdot x+f(0)\right|\\<br/>&=\left|\dfrac{x^2+x}2\cdot f(1)+\dfrac{x^2-x}2\cdot f(-1)+\left(1-x^2\right)\cdot f(0)\right|\\&\leqslant \dfrac{\left|x^2+x\right|+\left|x^2-x\right|+1-x^2}2,\end{split}$$记右侧函数为 $g(x)$．由于 $g(x)$ 是关于 $x$ 的偶函数，因此仅需考虑 $0\leqslant x\leqslant 1$ 的情形，此时有$$g(x)=x+1-x^2\leqslant \dfrac54,$$原命题得证． 备注1 问题2 若 $|f(x)|\leqslant 1,$ 求证：当 $|x|\leqslant 1$ 时，$|2ax+b|\leqslant 4.$ 答案2 略 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，有$$\begin{split}|2ax+b|&=\left|2\cdot \dfrac{f(1)+f(-1)-2f(0)}2\cdot x+\dfrac{f(1)-f(-1)}2\right|\\<br/>&=\left|\dfrac{2x+1}2\cdot f(1)+\dfrac{2x-1}2\cdot f(-1)-2x\cdot f(0)\right|\\<br/>&\leqslant \left|x+\dfrac 12\right|+\left|x-\dfrac 12\right|+|2x|,\end{split}$$记右侧函数为 $h(x)$．由于 $ h(x)$ 是关于 $ x $ 的偶函数，因此仅需考虑 $ 0\leqslant x\leqslant 1 $ 的情形，此时有$$ h(x)=\begin{cases} 2x+1,&0\leqslant x\leqslant\dfrac12,\\<br/>4x, &\dfrac12< x\leqslant 1.\end{cases} $$所以 $ g(x)\leqslant 4$，原命题得证． 备注2