已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），圆 $O:x^2+y^2=r^2$，其中 $O$ 为坐标原点．椭圆 $E$ 上两点 $P,Q$ 满足直线 $OP$ 与直线 $OQ$ 的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，求直线 $PQ$ 被圆 $O$ 截得的弦长的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{4r^2-2a^2},\sqrt{4r^2-2b^2}\right]$
【解析】
根据题意，在仿射变换 $x'=x$，$y'=\dfrac aby$ 下，椭圆变为圆$$E':x'^2+y'^2=a^2.$$此时直线 $OP'$ 与直线 $OQ'$ 的斜率之积为 $-1$，因此 $\triangle P'OQ'$ 的面积为定值 $\dfrac 12a^2$．
回到原图形，有 $\triangle POQ$ 的面积为定值 $\dfrac 12ab$．
要求直线 $PQ$ 被圆 $O$ 截得的弦长的取值范围，可以转化为求圆心 $O$ 到弦 $PQ$ 的距离的取值范围．
考虑到在仿射变换后弦 $P'Q'$ 与圆 $x^2+y^2=\dfrac 12a^2$ 相切，于是在原图形中，弦 $PQ$ 与椭圆\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac 12\]相切，该椭圆与椭圆 $E$ 相似比为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
当 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$O$ 到 $PQ$ 的距离最小，此时弦 $|PQ|$ 的长度有最大值；当 $PQ$ 的斜率不存在时，$O$ 到 $PQ$ 的距离最大，此时弦 $|PQ|$ 有最小值．
这样我们就有原点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $d$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{b}{\sqrt 2},\dfrac{a}{\sqrt 2}\right]$，故所求弦长的取值范围是$$\left[\sqrt{4r^2-2a^2},\sqrt{4r^2-2b^2}\right].$$
回到原图形，有 $\triangle POQ$ 的面积为定值 $\dfrac 12ab$．
要求直线 $PQ$ 被圆 $O$ 截得的弦长的取值范围，可以转化为求圆心 $O$ 到弦 $PQ$ 的距离的取值范围．
考虑到在仿射变换后弦 $P'Q'$ 与圆 $x^2+y^2=\dfrac 12a^2$ 相切，于是在原图形中，弦 $PQ$ 与椭圆\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac 12\]相切，该椭圆与椭圆 $E$ 相似比为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
当 $PQ$ 的斜率为 $0$ 时，$O$ 到 $PQ$ 的距离最小，此时弦 $|PQ|$ 的长度有最大值；当 $PQ$ 的斜率不存在时，$O$ 到 $PQ$ 的距离最大，此时弦 $|PQ|$ 有最小值．
这样我们就有原点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $d$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{b}{\sqrt 2},\dfrac{a}{\sqrt 2}\right]$，故所求弦长的取值范围是$$\left[\sqrt{4r^2-2a^2},\sqrt{4r^2-2b^2}\right].$$
答案
解析
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