已知 $f(x)=\ln (x+m)-mx$，其中 $m>1$，$x_1,x_2$ 是函数 $f(x)$ 的两个零点，求证：$x_1+x_2<0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{aligned} \ln(x_1+m)=mx_1,\\ \ln (x_2+m)=mx_2,\end{aligned}\]两式相减可得\[\dfrac 1m=\dfrac{(x_1+m)-(x_2+m)}{\ln(x_1+m)-\ln(x_2+m)},\]由对数平均不等式，得\[\dfrac{(x_1+m)-(x_2+m)}{\ln(x_1+m)-\ln(x_2+m)}>\sqrt{(x_1+m)(x_2+m)},\]因此\[\ln[(x_1+m)(x_2+m)]<\ln\dfrac 1{m^2}<0,\]也即\[mx_1+mx_2<0,\]命题得证．
答案
解析
备注
