题目 试证明：集合 $A=\{2,2^2,\cdots,2^n,\cdots\}$ 满足 问题1 对每个 $a\in A$，及 $b\in\mathbb N^*$，若 $b<2a-1$，则 $b(b+1)$ 一定不是 $2a$ 的倍数； 答案1 略 解析1 对于任意的 $a\in A$，设 $a=2^k,k\in\mathbb N^*$．<br/>如果 $b$ 是任意一个小于 $2a-1$ 的正整数，则$$b+1\leqslant2^{k+1}-1.$$由于 $b$ 与 $b+1$ 中，一个为奇数，它不含素因子 $2$，另一个为偶数，它含素因子 $2$ 的幂的次数最多为 $k$，所以 $b(b+1)$ 中所含素因子 $2$ 的个数不超过 $k$，因此 $b(b+1)$ 一定不是 $2a$ 的倍数． 备注1 问题2 对每个 $a\in\overline{A}$（其中 $\overline{A}$ 表示 $A$ 在 $\mathbb N^*$ 中的补集），且 $a\ne1$，必存在 $b\in\mathbb N^*$，$b<2a-1$，使 $b(b+1)$ 是 $2a$ 的倍数． 答案2 略 解析2 若 $a\in\overline{A}$，且 $a\ne1$，设 $a=2^km$，其中 $k$ 为非负整数，$m$ 为大于 $1$ 的奇数，则$$2a=2^{k+1}m.$$由于 $(2,m)=1$，总存在 $r(r\in\mathbb N^*,r\leqslant m-1)$，使$$2^r\equiv1\pmod{m}.$$取 $t\in\mathbb N^*$，使 $tr>k+1$，则$$2^{tr}\equiv1\pmod{m}.$$存在$$b=(2^{tr}-1)-q\cdot 2^{k+1}m>0,q\in\mathbb N,$$使 $0<b<2a-1$，此时$$m\mid b , 2^{k+1}\mid b+1,$$因此 $b(b+1)$ 是 $2a$ 的倍数． 备注2