$AD$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $BC$ 上的高（$AB<AC$），$I_{1},I_{2}$ 分别是 $\triangle ABD,\triangle ACD$ 内心，$\triangle AI_{1}I_{2}$ 的外接圆 $\odot O$ 分别交 $AB,AC$ 于 $E,F$，直线 $EF,BC$ 交于点 $M$．证明：$I_{1},I_{2}$ 分别 $\triangle ODM$ 的内心和旁心．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，因为 $\angle BAC=90^{\circ}$，所以 $\triangle AI_{1}I_{2}$ 的外接圆圆心 $O$ 在 $EF$ 上．
连接 $OI_{1},OI_{2},I_{1}D,I_{2}D$，则由 $I_{1},I_{2}$ 为内心可知，$\angle I_{1}AI_{2}=45^{\circ}$，所以\[\angle I_{1}OI_{2}=2\angle I_{1}AI_{2}=90^{\circ}=\angle I_{1}DI_{2},\]于是 $O,I_{1},D,I_{2}$ 四点共圆，故\[\angle I_{2}I_{1}O=\angle I_{1}I_{2}O=45^{\circ}.\]又因为\[\angle I_{2}DO=\angle I_{2}I_{1}O=45^{\circ}=\angle I_{2}DA,\]因此点 $O$ 在 $AD$ 上，即 $O$ 为 $EF$ 与 $AD$ 的交点．
设 $AD$ 与 $\odot O$ 交于另一点 $H$，由\[\angle EAI_{1}=\angle I_{1}AH, \angle HAI_{2}=\angle FAI_{2},\]可知 $I_{1},I_{2}$ 分别为 $\widehat{EH},\widehat{HF}$ 的中点，所以\[\angle EOI_{1}=\angle DOI_{1}, \angle DOI_{2}=\angle FOI_{2}.\]因此，点 $I_{1},I_{2}$ 分别为 $\triangle OMD$ 的内心与旁心．
连接 $OI_{1},OI_{2},I_{1}D,I_{2}D$，则由 $I_{1},I_{2}$ 为内心可知，$\angle I_{1}AI_{2}=45^{\circ}$，所以\[\angle I_{1}OI_{2}=2\angle I_{1}AI_{2}=90^{\circ}=\angle I_{1}DI_{2},\]于是 $O,I_{1},D,I_{2}$ 四点共圆，故\[\angle I_{2}I_{1}O=\angle I_{1}I_{2}O=45^{\circ}.\]又因为\[\angle I_{2}DO=\angle I_{2}I_{1}O=45^{\circ}=\angle I_{2}DA,\]因此点 $O$ 在 $AD$ 上，即 $O$ 为 $EF$ 与 $AD$ 的交点．
设 $AD$ 与 $\odot O$ 交于另一点 $H$，由\[\angle EAI_{1}=\angle I_{1}AH, \angle HAI_{2}=\angle FAI_{2},\]可知 $I_{1},I_{2}$ 分别为 $\widehat{EH},\widehat{HF}$ 的中点，所以\[\angle EOI_{1}=\angle DOI_{1}, \angle DOI_{2}=\angle FOI_{2}.\]因此，点 $I_{1},I_{2}$ 分别为 $\triangle OMD$ 的内心与旁心．
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解析
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