题目 已知函数 $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+(a+1)x+(1-a)\ln{x}$，$a\in\mathbb{R}$． 问题1 当 $a=3$ 时，求曲线 $C:y=f(x)$ 在点 $\left(1,f(1)\right)$ 处的切线方程； 答案1 $2x-2y+5=0$ 解析1 当 $a=3$ 时，$$f(x)=-\dfrac 12x^2+4x-2\ln x,$$因此$$f'(x)=-x+4-\dfrac 2x,$$故$$f(1)=\dfrac 72 , f'(1)=1,$$所以点 $\left (1,\dfrac 72\right)$ 处的切线方程为$$y-\dfrac 72=1\cdot (x-1),$$即$$2x-2y+5=0.$$ 备注1 问题2 当 $x\in[1,2]$ 时，若曲线 $C:y=f(x)$ 上的点 $(x,y)$ 都在不等式组 $\begin{cases}1\leqslant x \leqslant 2,\\x \leqslant y,\\y \leqslant x+\dfrac{3}{2}, \end{cases}$ 所表示的平面区域内，试求 $a$ 的取值范围． 答案2 $[1,2]$ 解析2 原题等价于$$\forall x\in [1,2],x \leqslant f(x) \leqslant x+\dfrac{3}{2}.$$设 $g(x)=f(x)-x$，则$$g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+ax+(1-a)\ln{x}, x\in [1,2],$$其导函数$$g'(x)=\dfrac{-(x-1)\left(x-(a-1)\right) }{x}.$$因为$$0\leqslant g(1)=a-\dfrac{1}{2} \leqslant 2,$$所以$$\dfrac{1}{2}\leqslant a \leqslant 2.$$此时当 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时，有 $g'(x)\leqslant 0$，$g(x)$ 为单调减函数，所以$$g(2)\leqslant g(x)\leqslant g(1).$$依题意有$$\begin{cases}g(1)=a-\dfrac{1}{2}\leqslant \dfrac{3}{2},\\g(2)=-2+2a+(1-a)\ln{2} \geqslant 0,\end{cases}$$解得 $1\leqslant a\leqslant 2$．<br/>因此 $a$ 的取值范围是 $[1,2]$． 备注2