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  信息迁移

$a_{100}=107,S_{100}=5651$

因为$$13=6+7 , 26=5+6+7+8,$$故 $13,26$ 是 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项．
下面证明 $32$ 不是数列中的项．
否则，设$$32 = n + \left( {n + 1} \right) + \cdots + \left( {n + k - 1} \right),$$其中 $k \geqslant 2 , n \in {\mathbb{N}}^*$，于是$$32 = \dfrac{{k\left( {2n + k - 1} \right)}}{2},$$即$$k\left( {2n + k - 1} \right) = 64 = {2^6},$$而 $k$ 与 $2n + k - 1$ 一奇一偶，所以奇数必定是 $1$，但$$2n + k - 1 > 1,$$所以只能 $k=1$，矛盾，故 $32$ 不是数列中的项．
首先 ${a_1} = 3$，其次形如 ${2^k}(k \in {\mathbb{N}}^*)$ 的数不是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项，下证其余的数都是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项．
剩下的数都可以表示成 ${2^m}\left( {2k + 1} \right)$ 的形式，其中 $m , k \in {\mathbb{N}}* , k \geqslant 1$．
情形一当 ${2^m} > k$ 时，$${2^m}\left( {2k + 1} \right) = \left( {{2^m} - k} \right) + \left( {{2^m} - k + 1} \right) + \cdots + \left( {{2^m} + k} \right),$$所以此时形如 ${2^m}\left( {2k + 1} \right)$ 的数都是 $\{a_n\}$ 中的项．
情形二当 ${2^m} \leqslant k$ 时，有$${2^m}\left( {2k + 1} \right) = \left[ {k - \left( {{2^m} - 1} \right)} \right] + \left[ {k - \left( {{2^m} - 2} \right)} \right] + \cdots + k + \left( {k + 1} \right) + \cdots + \left[ {\left( {k + 1} \right) + \left( {{2^m} - 1} \right)} \right],$$所以形如 ${2^m}\left( {2k + 1} \right)$ 的数都可以表示成两个或两个以上连续正整数的和，即是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项．
因为$${2^6} < 100 < {2^7},$$所以 ${a_{100}} = 107$，进而$${S_{100}} = \left( {1 + 2 + \cdots + 107} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) = 5651.$$

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  组合数学

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  组合极值

$30$

设最小的 $5$ 形态数为 $m$，且$$m = n + \left( {n + 1} \right) + \cdots + \left( {n + k - 1} \right),$$其中 $k \geqslant 2$，$k , n \in {\mathbb{N}}^*$，则$$k\left( {2n + k - 1} \right) = 2m,$$且$$2n + k - 1 \geqslant k + 1 > k.$$$m$ 是 $i$ 形态数等价于方程$$k\left( {2n + k - 1} \right) = 2m$$的解恰有 $i$ 个．
情形一 $2m$ 不是完全平方数．
设 $2m$ 的因数个数为 $2r$，排序为$$1 = {a_1} < {a_2} < \cdots < {a_{2r}} = 2m,$$则$${a_i}{a_{2r + 1 - i}} = 2m(i = 1 , 2 , \cdots , r).$$当 $k = {a_i}\left( {i = 2 , 3 , \cdots , r} \right)$ 时，$$2n + k - 1 = {a_{2r + 1 - i}},$$此时的 $\left( {k , n} \right)$ 满足要求，方程 $k\left( {2n + k - 1} \right) = 2m$ 满足 $k \geqslant 2$，$k , n \in {\mathbb{N}}^*$ 的解有 $r - 1$ 个．
由 $r - 1 = 5$ 得 $r = 6$，所以 $2m$ 的因数个数有 $12$ 个．
考虑到$$12 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 3 \times 2 \times 2$$（$1 \times 12$ 不满足要求），显然 $2m$ 含有因数 $2$．
要想 $m$ 最小，则其质因子应该尽量小，且较小的质因子的次数较大，由此可得$$2m = {2^5} \times 3 = {2^3} \times {3^2} = {2^2} \times 3 \times 5,$$最小的 $m = 30$．
情形二 $2m$ 是完全平方数．
设因数个数为 $2r + 1$．
类似的，方程$$k\left( {2n + k - 1} \right) = 2m$$的解有 $r - 1$ 个，解得 $r = 6$，而 $2m$ 的因数个数为 $13$，只能 $m = {2^{11}}$，不满足要求．
综上知，最小的 $5$ 形态数为 $30$．