求方程 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x7\right]=x$ 的所有解，其中 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\{0,-6,-12,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,-51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85\}$
【解析】
由方程知解 $x$ 是整数．
由$$\dfrac 12 +\dfrac 13 +\dfrac 17 =\dfrac{41}{42}<1$$知 $x\leqslant 0$．
设$$a=-x({\rm mod} 2) , b=-x({\rm mod} 3) , c=-x({\rm mod} 7),$$则存在 $d\in \mathbb Z$ 使$$-x =21a+14b+6c+42d,$$由$$\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x7\right]=x,$$解得 $d=0$．
因此方程的解集为\[\begin{split}& \left\{ 0,-21\right\}\oplus \{0,-14,-28\}\oplus \{0,-6,-12,-18,-24,-30,-36\}\\ =&\{0,-6,-12,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,\\ &-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,\\&-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,-51,\\&-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,\\&-67,-71,-73,-79,-85\}\end{split}\]
由$$\dfrac 12 +\dfrac 13 +\dfrac 17 =\dfrac{41}{42}<1$$知 $x\leqslant 0$．
设$$a=-x({\rm mod} 2) , b=-x({\rm mod} 3) , c=-x({\rm mod} 7),$$则存在 $d\in \mathbb Z$ 使$$-x =21a+14b+6c+42d,$$由$$\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x7\right]=x,$$解得 $d=0$．
因此方程的解集为\[\begin{split}& \left\{ 0,-21\right\}\oplus \{0,-14,-28\}\oplus \{0,-6,-12,-18,-24,-30,-36\}\\ =&\{0,-6,-12,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,\\ &-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,\\&-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,-51,\\&-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,\\&-67,-71,-73,-79,-85\}\end{split}\]
答案
解析
备注
