题目 设 $x_i\in\{\sqrt 2 -1,\sqrt 2+1\}$，$i=1,2,\cdots ,2010$．令 $S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots +x_{2009}x_{2010}$． 问题1 $S$ 能否等于 $2010$？证明你的结论； 答案1 不能 解析1 因为\[\begin{split}&(\sqrt 2 -1)^2=3-2\sqrt 2,\\ &(\sqrt 2+1)^2=3+2\sqrt 2,\\ &(\sqrt 2-1)(\sqrt 2+1)=1,\end{split}\]所以$$x_{2i-1}x_{2i}\in \{3-2\sqrt 2,3+2\sqrt 2 ,1\}.$$设和式 $S$ 中有 $a$ 个 $3+2\sqrt 2$，$b$ 个 $3-2\sqrt 2$，$c$ 个 $1$，则 $a,b,c$ 是非负整数，且$$a+b+c=1005,$$所以\[\begin{split}S&=\sum\limits_{i=1}^{1005}{x_{2i-1}x_{2i}}\\&=(3+2\sqrt 2)a+(3-2\sqrt 2)b+c\\&=3a+3b+c+2\sqrt 2(a-b).\end{split}\]若 $S=2010$，则 $a=b$，此时$$S=6a+c=6a+(1005-a-a)=4a+1005$$是一个奇数，所以 $S$ 不可能等于 $2010$． 备注1 问题2 $S$ 能取到多少个不同的整数值？ 答案2 $503$ 解析2 由 $(1)$ 可知，若 $S$ 是整数，则$$a=b , S=4a+1005.$$由于$$a+b+c=2a+c=1005 , 0\leqslant a \leqslant 502,$$所以 $S$ 可以取到 $503$ 个不同的整数值． 备注2