解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right),\left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right)$
【解析】
将 $xy+yz+zx=1$ 代入第一式，可得$$5yz(x+y)(x+z)=12xz(y+x)(y+z)=13xy(z+x)(z+y).$$分别令$$x(y+z)=a , y(z+x)=b , z(x+y)=c,$$则$$5bc=12ca=13ab,$$即$$\dfrac 5a=\dfrac{12}b=\dfrac{13}c=k,$$又 $a+b+c=2$，从而解得 $k=15$．
因此$$(x,y,z)=\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right)\lor \left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right).$$
因此$$(x,y,z)=\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right)\lor \left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right).$$
答案
解析
备注
