一个圆的内接四边形边长依次为 $1,2,3,4$，求这个圆的半径及内接四边形的面积．如果去掉“圆内接”的限制条件，四边形的面积的最大值是多少？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt 6$
【解析】
如图，连接 $BD$，设 $\angle BAD=\theta$，则 $\angle BCD=\pi -\theta$．
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 中分别应用余弦定理，得$$BD^2=17-8\cos\theta=13+12\cos\theta,$$于是 $\cos\theta=\dfrac 15$，因此$$BD^2=\dfrac{77}5 , \sin\theta=\dfrac{2\sqrt 6}5,$$根据正弦定理，其外接圆半径为 $\dfrac{\sqrt{2310}}{24}$，面积为 $2\sqrt 6$．
因为四边形 $ABCD$ 的面积$$S_{ABCD}=2\sin A+3\sin C,$$而$$2\cos A-3\cos C=1,$$所以$$S_{ABCD}^2=12-12\cos (A+C),$$因此面积的最大值也为 $2\sqrt 6$．
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BCD$ 中分别应用余弦定理，得$$BD^2=17-8\cos\theta=13+12\cos\theta,$$于是 $\cos\theta=\dfrac 15$，因此$$BD^2=\dfrac{77}5 , \sin\theta=\dfrac{2\sqrt 6}5,$$根据正弦定理，其外接圆半径为 $\dfrac{\sqrt{2310}}{24}$，面积为 $2\sqrt 6$．因为四边形 $ABCD$ 的面积$$S_{ABCD}=2\sin A+3\sin C,$$而$$2\cos A-3\cos C=1,$$所以$$S_{ABCD}^2=12-12\cos (A+C),$$因此面积的最大值也为 $2\sqrt 6$．
答案
解析
备注
