对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
$29$
【解析】
显然$$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{6}a_{i}=\sum\limits_{i=1}^{6}b_{i}=39.$$设 $12\in A$，首先注意一种极端情况的划分：\[A_{0}=\{1,2,3,10,11,12\}, B_{0}=\{4,5,6,7,8,9\},\]显然数组 $\{1,2,3\}$ 与 $\{10,11,12\}$ 中，若有一组数全在 $A$ 中，则另一组数必全在 $A$ 中．
以下考虑 $10,11$ 两数至少一个不在 $A$ 的情况．为此，考虑 $A_{0},B_{0}$ 中个数相同且和数相等的元素交换：
情形一 $(10,1)\leftrightarrow (5,6),(4,7)$，$(10,2)\leftrightarrow (5,7),(4,8)$，$(10,3)\leftrightarrow (6,7),(5,8),(4,9)$，$(10,2,3)\leftrightarrow (4,5,6)$，共得到 $8$ 个对换．
情形二 $(11,1)\leftrightarrow (5,7),(4,8)$，$(11,2)\leftrightarrow (6,7),(5,8),(4,9)$，$(11,3)\leftrightarrow (6,8),(5,9)$，$(11,1,3)\leftrightarrow (4,5,6)$，$(11,2,3)\leftrightarrow (4,5,7)$，共有 $9$ 个对换．
情形三 $(10,11,1)\leftrightarrow (6,7,9),(5,8,9)$；$(10,11,2)\leftrightarrow (6,8,9)$，$(10,11,3)\leftrightarrow (7,8,9)$，$(10,11,1,2)\leftrightarrow (4,5,7,8),(4,5,6,9)$，$(10,11,1,3)\leftrightarrow (4,6,7,8),(4,5,7,9)$，$(10,11,2,3)\leftrightarrow (5,6,7,8),(4,6,7,9),(4,5,8,9)$，共得到 $11$ 个对换．
每个对换都得到一个新的划分，因此，本题共得到 $1+8+9+11=29$ 种“等和划分”．
以下考虑 $10,11$ 两数至少一个不在 $A$ 的情况．为此，考虑 $A_{0},B_{0}$ 中个数相同且和数相等的元素交换：
每个对换都得到一个新的划分，因此，本题共得到 $1+8+9+11=29$ 种“等和划分”．
答案
解析
备注
