如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列．
【难度】
【出处】
2011年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，延长 $AP$ 与 $\triangle ABC$ 的外接圆相交于点 $Q$，连接 $QB,QC$，设题中相等的四个角均为 $\alpha$，则$$\angle QBC=\angle QCB=\alpha.$$
易知 $\triangle ABC,\triangle BPQ,\triangle PQC$ 均相似，从而$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{PQ}{BQ} , \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{PQ}{QC}.$$又
$BQ=CQ$，因此 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$，原命题得证．
易知 $\triangle ABC,\triangle BPQ,\triangle PQC$ 均相似，从而$$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{PQ}{BQ} , \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{PQ}{QC}.$$又$BQ=CQ$，因此 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$，原命题得证．
答案
解析
备注
