2011年全国高中数学联赛江苏省复赛加试

$(1,1,1)$，$(1,2,2)$，$(3,4,4)$，$(1,1,3)$，$(2,2,5)$，$(1,2,4)$，$(2,3,6)$，$(4,5,10)$，$(1,4,6)$，$(2,6,9)$，$(3,8,12)$，$(6,14,21)$

情形一 $a\leqslant b<c$，此时$$a+b+1\leqslant a+c<2c.$$因为$$c|a+b+1,$$所以$$a+b+1=c.$$将 $c=a+b+1$ 代入 $a|b+c+1$ 及 $b|c+a+1$，得$$a|a+2b+2 , b|2a+b+2,$$即$$a|2b+2 , b|2a+2.$$由 $2a+2\leqslant 4a\leqslant 4b$ 知$$2a+2=b,2b,3b,4b.$$由 $2a+2=b$ 及 $a|2b+2$ 知$$a|4a+6,$$即 $a|6$，此时$$(a,b,c)=(1,4,6),(2,6,9),(3,8,12),(6,14,21).$$由 $2a+2=2b$ 及 $a|2b+2$ 知$$a|2a+4,$$即 $a|4$，此时$$(a,b,c)=(1,2,4),(2,3,6),(4,5,10).$$由 $2a+2=3b$ 及 $a|2b+2$ 知$$3|a+1 , 3a|4a+10,$$因此 $a|10$，$3|a+1$，所以$$(a,b,c)=(2,2,5).$$由 $2a+2=4b$ 及 $a\leqslant b$ 知 $a=b=1$，此时$$(a,b,c)=(1,1,3).$$情形二 $a\leqslant b=c$，此时由 $b|c+a+1$，知$$b|a+1.$$又 $a\leqslant a\leqslant b$，故$$a+1=b,2b.$$若 $a+1=b$，则由 $a|b+c+1$ 知$$a|2a+3,$$即 $a|3$，此时$$(a,b,c)=(1,2,2),(3,4,4).$$若 $a+1=2b$，则由 $1\leqslant a\leqslant b$ 知$$a=b=1,$$此时 $(a,b,c)=(1,1,1)$．
综上所述，$(a,b,c)=(1,1,1)$，$(1,2,2)$，$(3,4,4)$，$(1,1,3)$，$(2,2,5)$，$(1,2,4)$，$(2,3,6)$，$(4,5,10)$，$(1,4,6)$，$(2,6,9)$，$(3,8,12)$，$(6,14,21)$．