已知 $n$ 为正整数，求证：$\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$n!n!\mid (2n)! , (n+1)!(n-1)!\mid (2n)!,$$所以\[
\left[n!n!, (n+1)!(n-1)! \right]\mid (2n)!,
\]即 $n!(n+1)!\mid (2n)!$，故 $\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数．
\left[n!n!, (n+1)!(n-1)! \right]\mid (2n)!,
\]即 $n!(n+1)!\mid (2n)!$，故 $\dfrac{1}{n+1}\mathrm{C}_{2n}^{n}$ 是正整数．
答案
解析
备注
