集合 $M\subseteq\{1,2,\cdots ,2011\}$，若 $M$ 满足：其任意三个元素 $a,b,c$，均满足 $ab\ne c$，则称 $M$ 具有性质 $P$，为方便起见，简记 $M\in P$．具有性质 $P$ 的所含元素最多的集合称为最大集，试问具有性质 $P$ 的最大集共有多少个？并给出证明．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$3$，证明略
【解析】
令 $A=\{2,3,\cdots ,44\}$，$B=\{45,46,\cdots ,2011\}\cup\{1\}$，显然集合 $B\in P$．
对任一 $M\in P$，令$$M_A=M\cap A,M_B=M\cap B.$$设最大集元素的个数为 $n_0$，则$$n_0\geqslant |B|=1968.$$若 $M\in P$，设 $M_B$ 中除 $1$ 之外的最小元为 $45+p$，$0\leqslant p\leqslant 43$．
集合 $A$ 中与 $45+p$ 的乘积大于 $2011$ 的元素个数记为 $q$，则$$q=44-\left[\dfrac{2011}{45+p}\right]<45-\dfrac{2011}{45+p},$$结论一 当 $p\geqslant 4$ 时，有 $q<p$．
事实上，若有$$p\leqslant q<45-\dfrac{2011}{45+p},$$即$$45p+p^2\leqslant 45(45+p)-2011,$$则可解得 $p\leqslant 3$．
不难验证，当 $0\leqslant p\leqslant 3$ 时，均有 $p=q$．
令$$M_A=M_A^1\cup M_A^2,{\text{且}}M_A^1\cap M_A^2=\varnothing,$$这里\[\begin{split}&M_A^1=\{k\mid k\leqslant 44-q,k\in M_A\},\\&M_A^2=\{k\mid k>44-q,k\in M_A\}.\end{split}\]设 $M_A^1=\{a_1,a_2,\cdots ,a_t\}$，且 $a_1<a_2<\cdots <a_t$．
结论二 若 $M\in P$ 是最大集，则 $p\leqslant 3$．
事实上，否则的话，$p\geqslant 4$，由结论一知 $q<p$．
因为 $a_i(45+p)<2011$，所以$$a_i(45+p)\notin M_B(i=1,2,\cdots ,t),$$因此$$\{(45+p)a_1,(45+p)a_2,\cdots ,(45+p)a_t\}\cap M_B=\varnothing.$$容易求得：$|M_A^1|=t$，$|M_A^2|\leqslant q$，$|M_B|\leqslant (1968-p)-t$．
所以\[\begin{split}|M|&=|M_A^1|+|M_A^2|+|M_B|\\&\leqslant t+q+(1968-p)-t\\&<1968\leqslant n_0,\end{split}\]这与 $M$ 为最大集矛盾．
结论三 若 $M\in P$ 是最大集，则 $|M_A^1|=t\leqslant 1$．
用反证法，假设 $t\geqslant 2$．
情形一 当 $p=q=0$ 时，由结论二的证明可知$$\{45a_1,45a_2,\cdots ,45a_t\}\cap M_B=\varnothing.$$因为$$45a_t-46a_{t-1}=45(a_t-a_{t-1})-a_{t-1}\geqslant 45-a_{t-1}>0,$$则$$45a_{t-1}<46a_{t-1}<45a_t<2011.$$由此知 $46$ 和 $a_{t-1}$，$47$ 和 $a_{t-2}$，$\cdots$，$44+t$ 和 $a_1$ 中至少有一个不属于 $M_B$，所以$$|M|\leqslant t+1968-(t+1)=1967<n_0;$$情形二 当 $1\leqslant p=q\leqslant 3$ 时，若 $M_A^2=\varnothing$，同理可得$$|M|\leqslant t+q+(1968-p)-(t+1)\leqslant 1967<n_0.$$综合以上两种情形以及结论二知，$t\leqslant 1$．
结论四：若 $M\in P$ 是最大集，则 $|M_A|\leqslant 1$．
事实上，若 $|M_A|>1$，任取其中两个数 $a,b$，由结论三知，其中必有一数，设为 $b\in M_A^2$，使得$$ab\notin M_B , a(45+p)\notin M_B,$$则$$|M|\leqslant 1+q+(1968-p)-2\leqslant 1967<n_0,$$所以 $|M_A|\leqslant 1$．由此可知，若 $M\in P$ 是最大集，只有下述三种可能：
$(1)$ $M_A=\varnothing $，$M_B=B$；
$(2)$ $M_A=\{44\}$，$M_B=B\backslash \{45\}$；
$(3)$ $M_A=\{44\}$，$M_B=B\backslash \{44\times 45\}$．
对任一 $M\in P$，令$$M_A=M\cap A,M_B=M\cap B.$$设最大集元素的个数为 $n_0$，则$$n_0\geqslant |B|=1968.$$若 $M\in P$，设 $M_B$ 中除 $1$ 之外的最小元为 $45+p$，$0\leqslant p\leqslant 43$．
集合 $A$ 中与 $45+p$ 的乘积大于 $2011$ 的元素个数记为 $q$，则$$q=44-\left[\dfrac{2011}{45+p}\right]<45-\dfrac{2011}{45+p},$$
事实上，若有$$p\leqslant q<45-\dfrac{2011}{45+p},$$即$$45p+p^2\leqslant 45(45+p)-2011,$$则可解得 $p\leqslant 3$．
不难验证，当 $0\leqslant p\leqslant 3$ 时，均有 $p=q$．
令$$M_A=M_A^1\cup M_A^2,{\text{且}}M_A^1\cap M_A^2=\varnothing,$$这里\[\begin{split}&M_A^1=\{k\mid k\leqslant 44-q,k\in M_A\},\\&M_A^2=\{k\mid k>44-q,k\in M_A\}.\end{split}\]设 $M_A^1=\{a_1,a_2,\cdots ,a_t\}$，且 $a_1<a_2<\cdots <a_t$．
事实上，否则的话，$p\geqslant 4$，由结论一知 $q<p$．
因为 $a_i(45+p)<2011$，所以$$a_i(45+p)\notin M_B(i=1,2,\cdots ,t),$$因此$$\{(45+p)a_1,(45+p)a_2,\cdots ,(45+p)a_t\}\cap M_B=\varnothing.$$容易求得：$|M_A^1|=t$，$|M_A^2|\leqslant q$，$|M_B|\leqslant (1968-p)-t$．
所以\[\begin{split}|M|&=|M_A^1|+|M_A^2|+|M_B|\\&\leqslant t+q+(1968-p)-t\\&<1968\leqslant n_0,\end{split}\]这与 $M$ 为最大集矛盾．
用反证法，假设 $t\geqslant 2$．
结论四：若 $M\in P$ 是最大集，则 $|M_A|\leqslant 1$．
事实上，若 $|M_A|>1$，任取其中两个数 $a,b$，由结论三知，其中必有一数，设为 $b\in M_A^2$，使得$$ab\notin M_B , a(45+p)\notin M_B,$$则$$|M|\leqslant 1+q+(1968-p)-2\leqslant 1967<n_0,$$所以 $|M_A|\leqslant 1$．由此可知，若 $M\in P$ 是最大集，只有下述三种可能：
$(1)$ $M_A=\varnothing $，$M_B=B$；
$(2)$ $M_A=\{44\}$，$M_B=B\backslash \{45\}$；
$(3)$ $M_A=\{44\}$，$M_B=B\backslash \{44\times 45\}$．
答案
解析
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