在平面直角坐标系中，已知圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交于点 $P,Q$，点 $P$ 的坐标为 $(3,2)$，两圆半径的乘积为 $\dfrac{13}{2}$．若圆 $C_1$ 和 $C_2$ 均与直线 $l:y=kx$ 及 $x$ 轴相切，求直线 $l$ 的方程．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$y=2\sqrt 2x$
【解析】
由题意知，$O,C_1,C_2$ 共线．
设圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的半径分别为 $r_1,r_2$，直线 $C_1C_2$ 的斜率为 $\tan \alpha\ne 0$．
令 $m=\cos \alpha$，则圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的圆心分别为 $C_1(mr_1,r_1),C_2(mr_2,r_2)$，两圆的方程分别为\[\begin{split}&(x-mr_1)^2+(y-r_1)^2=r_1^2,\\&(x-mr_2)^2+(y-r_2)^2=r_2^2.\end{split}\]点 $P(3,2)$ 是两圆的公共点，所以\[\begin{split}&(3-mr_1)^2+(2-r_1)^2=r_1^2,\\&(3-mr_2)^2+(2-r_2)^2=r_2^2.\end{split}\]由此可知 $r_1,r_2$ 是方程$$m^2r^2-(6m+4)r+13=0$$的两个根，即有$$r_1r_2=\dfrac{13}{m^2} , m=\sqrt 2,$$从而可知直线 $l$ 的方程为$$y=\tan{2\alpha}\cdot x=\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}x=2\sqrt 2 x.$$
设圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的半径分别为 $r_1,r_2$，直线 $C_1C_2$ 的斜率为 $\tan \alpha\ne 0$．令 $m=\cos \alpha$，则圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的圆心分别为 $C_1(mr_1,r_1),C_2(mr_2,r_2)$，两圆的方程分别为\[\begin{split}&(x-mr_1)^2+(y-r_1)^2=r_1^2,\\&(x-mr_2)^2+(y-r_2)^2=r_2^2.\end{split}\]点 $P(3,2)$ 是两圆的公共点，所以\[\begin{split}&(3-mr_1)^2+(2-r_1)^2=r_1^2,\\&(3-mr_2)^2+(2-r_2)^2=r_2^2.\end{split}\]由此可知 $r_1,r_2$ 是方程$$m^2r^2-(6m+4)r+13=0$$的两个根，即有$$r_1r_2=\dfrac{13}{m^2} , m=\sqrt 2,$$从而可知直线 $l$ 的方程为$$y=\tan{2\alpha}\cdot x=\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}x=2\sqrt 2 x.$$
答案
解析
备注
