题目 设 $f\left(x\right)$ 是定义在区间 $\left(1,+\infty \right)$ 上的函数，其导函数为 $f'\left(x\right)$．如果存在实数 $a$ 和函数 $h\left(x\right)$，其中 $h\left(x\right)$ 对任意的 $x\in \left(1,+\infty \right)$ 都有 $h\left(x\right) >0$，使得 $f'\left(x\right)=h\left(x\right)\left({{x}^{2}}-ax+1\right)$，则称函数 $f\left(x\right)$ 具有性质 $P\left(a\right)$． 问题1 设函数 $f\left(x\right)=\ln x+\dfrac{b+2}{x+1}\left(x>1\right)$，其中 $b$ 为实数．<br/>① 求证：函数 $f\left(x\right)$ 具有性质 $P\left(b\right)$；<br/>② 求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间． 答案1 ① 证明略<br/>② 当 $b\leqslant 2$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(1,+\infty)$，无单调递减区间；当 $b>2$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(1,\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4}}{2}\right)$，单调递减区间为 $\left(\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4}}{2},+\infty\right)$ 解析1 ① 因为$$f'\left(x\right) =\dfrac{\left({{x}^{2}}-bx+1\right)}{x{{\left(x+1\right)}^{2}}},$$所以当 $x>1$ 时，$$h\left(x\right)=\dfrac{1}{x{{\left(x+1\right)}^{2}}}>0$$恒成立，所以函数 $f\left(x\right)$ 具有性质 $P\left(b\right)$．<br/>② 函数 $f(x)$ 的定义域为 $(1,+\infty)$．<br/>设 $r(x)=x^{2}-bx+1$，则 $r(1)=2-b$，抛物线 $r(x)$ 的对称轴为 $x=\dfrac{b}{2}$．<br/><case>情形一</case> 当 $2-b\geqslant 0$，即 $b\leqslant 2$ 时，对称轴 $\dfrac{b}{2}\leqslant 1$，所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；<br/><case>情形二</case> 当 $2-b<0$，即 $b>2$ 时，对称轴 $\dfrac{b}{2}>1$．<br/>方程 $r(x)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 上有一根为 $\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4}}{2}$，所以 $f(x)$ 在 $\left(1,\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4}}{2}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{b+\sqrt{b^{2}-4}}{2},+\infty\right)$ 上单调递减． 备注1 问题2 已知函数 $g\left(x\right)$ 具有性质 $P\left(2\right)$，给定 ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left(1,+\infty \right)$，${{x}_{1}}<{{x}_{2}} $，设 $m$ 为实数．$\alpha =m{{x}_{1}}+\left(1-m\right){{x}_{2}}$，$\beta =\left(1-m\right){{x}_{1}}+m{{x}_{2}}$，且 $\alpha >1$，$\beta >1$，若 ${\left|{g\left(\alpha \right)-g\left(\beta \right)}\right|} < {\left|{g\left({{x}_{1}}\right)-g\left({{x}_{2}}\right)}\right|}$，求 $m$ 的取值范围． 答案2 $(0,1)$ 解析2 因为$$g'(x)=h(x)(x-1)^{2},$$所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．<br/>注意到$$\beta-\alpha=(2m-1)(x_{2}-x_{1}) , \alpha+\beta=x_{1}+x_{2},$$<case>情形一</case> 当 $m\geqslant 1$ 时，$\beta-\alpha\geqslant x_{2}-x_{1}$，于是 $\alpha\leqslant x_{1}<x_{2}\leqslant \beta$，不等式不成立；<br/><case>情形二</case> 当 $m\leqslant 0$ 时，$\alpha-\beta\geqslant x_{2}-x_{1}$，于是 $\beta\leqslant x_{1}<x_{2}\leqslant \alpha$，不等式不成立；<br/><case>情形三</case> 当 $0<m<1$ 时，$\left|\beta-\alpha\right|\leqslant x_{2}-x_{1}$，于是 $x_{1}<\alpha,\beta<x_{2}$，不等式恒成立．<br/>综上，$m$ 的取值范围是 $(0,1)$． 备注2