略

设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$，$A(x_A,y_A)$，$B(x_B,y_B)$．
由题意得$$\begin{cases}y=kx+m, \quad\cdots\cdots \text{ ① }\\ y^2=2px, \quad\cdots\cdots \text{ ② }\end{cases}$$将 ① 代入 ② 得：$$y^2-\dfrac {2p}{k}y+\dfrac {2pm}{k}=0.$$由韦达定理可得$$y_A+y_B=\dfrac {2p}{k}, y_A\cdot y_B=\dfrac {2pm}{k},$$所以$$y_B=\dfrac {2pm}{ky_A}.$$直线 $AB'$ 的方程为：$y=\dfrac {y_A}{x_A}x$，因为点 $B'$ 在准线上，所以点 $B'$ 的纵坐标为$$y_{B'}=\dfrac {y_A}{x_A}\cdot \left(-\dfrac p2\right)=-\dfrac {py_A}{2x_A}.$$因为 $AA'$ 与 $BB'$ 都平行于 $x$ 轴，所以 $y_B=y_{B'}$，即$$\dfrac {2pm}{ky_A}=-\dfrac {py_A}{2x_A}.\quad\cdots\cdots \text{ ③ }$$又因为点 $A$ 在抛物线 $C$ 上，所以$$y_A^2=2px_A. \quad\cdots\cdots \text{ ④ }$$将 ④ 代入 ③ 可得：$m=-\dfrac {pk}{2}.$
因此，直线 $l$ 的方程为$$y=k\left(x-\dfrac p2\right),$$故直线 $l$ 过定点 $F\left(\dfrac p2,0\right)$．

$2p^2$

由抛物线的定义及性质可得：$$|AA'|=|AF| , |BB'|=|BF|,$$则$$|AA'|+||BB'|=|AF|+|BF|=|AB|.$$由 $(1)$ 及题意可得，四边形 $ABB'A'$ 为直角梯形，则\[\begin{split}S &=\dfrac 12 |A'B'|\cdot(|AA'|+|BB'|)\\ &=\dfrac 12 |A'B'|\cdot |AB|\\ &=\dfrac 12 |y_A-y_B|\cdot \sqrt {(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}\\ &= \dfrac 12 (y_A-y_B)^2\cdot \sqrt {1+\dfrac 1{k^2}}\\ &=2p^2\left(1+\dfrac {1}{k^2}\right)^{\frac {3}{2}}. \end{split}\]因此，当直线 $l$ 的倾斜角为 $\dfrac {\pi}{2}$ 时，即四边形 $ABB'A'$ 为矩形时面积最小，最小值为 $2p^2$．