题目 已知函数 $f(x)=x^2+x$，$f'(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导函数． 问题1 若数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=f'(a_n)$，且 $a_1=1$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=2^n-1$ 解析1 因为$$f'(x)=2x+1,$$所以$$a_{n+1}=2a_n+1,$$于是$$a_{n+1}+1=2(a_n+1),$$所以 $\{a_n+1\}$ 是首项为 $2$，公比为 $2$ 的等比数列，于是$$a_n=2^n-1.$$ 备注1 问题2 若数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=b$，$b_{n+1}=f(b_n)$．<br/>① 是否存在实数 $b$，使得数列 $\{b_n\}$ 是等差数列？若存在，求出 $b$ 的值；若不存在，请说明理由；<br/>② 若 $b>0$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{b_i}{b_{i+1}}}<\dfrac1b$． 答案2 ① 存在，$b=0$ ② 略 解析2 由题可知$$b_{n+1}=b_n^2+b_n.$$① 因为$$b_1=b , b_2=b^2+b , b_3=(b^2+b)^2+(b^2+b),$$若 $\{b_n\}$ 是等差数列，则$$b_2-b_1=b_3-b_2,$$所以$$b^2=(b^2+b)^2,$$即$$b^3(b+2)=0,$$于是 $b=0$ 或 $b=-2$．<br/>经检验，当 $b=0$ 时，数列 $\{b_n\}$ 是等差数列；<br/>当 $b=-2$ 时，数列 $\{b_n\}$ 不是等差数列；<br/>所以存在实数 $b=0$，使得数列 $\{b_n\}$ 是等差数列．<br/>② 因为 $b>0$，所以 $b_n>0$，因为$$\dfrac{b_i}{b_{i+1}}=\dfrac{b_i^2}{b_ib_{i+1}}=\dfrac{b_{i+1}-b_i}{b_ib_{i+1}}=\dfrac{1}{b_i}-\dfrac{1}{b_{i+1}},$$所以$$\begin{split}\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{b_i}{b_{i+1}}}&=\left(\dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{b_2}\right)+\left(\dfrac{1}{b_2}-\dfrac{1}{b_3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{b_{n-1}}-\dfrac{1}{b_n}\right)\\ &=\dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{b_n}<\dfrac{1}{b_1}=\dfrac{1}{b}.\end{split}$$ 备注2