略

设直线 $l:y=\dfrac 13 x+m$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．
将 $y=\dfrac 13 x+m$ 代入 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 中，化简得$$2x^2+6mx+9m^2-36=0.$$于是有$$x_1+x_2=-3m , x_1x_2=\dfrac{9m^2-36}{2}.$$因为$$k_{PA}=\dfrac{y_1-\sqrt 2}{x_1-3\sqrt 2} , k_{PB}=\dfrac{y_2-\sqrt 2}{x_2-3\sqrt 2},$$所以\[\begin{split}k_{PA}+k_{PB}&=\dfrac{y_1-\sqrt 2}{x_1-3\sqrt 2}+\dfrac{y_2-\sqrt 2}{x_2-3\sqrt 2}\\&=\dfrac{(y_1-\sqrt 2)(x_2-3\sqrt 2)+(y_2-\sqrt 2)(x_1-3\sqrt 2)}{(x_1-3\sqrt 2)(x_2-3\sqrt 2)},\end{split}\]上式中\[\begin{split}{\text{分子}}&=\left(\dfrac 13 x_1+m-\sqrt 2\right)(x_2-3\sqrt 2)+\left(\dfrac 13 x_2+m-\sqrt 2\right)(x_1-3\sqrt 2)\\&=\dfrac 23x_1x_2+(m-2\sqrt 2)(x_1+x_2)-6\sqrt 2(m-\sqrt 2)\\&=\dfrac 23 \cdot \dfrac{9m^2-36}{2}+(m-2\sqrt 2)(-3m)-6\sqrt 2(m-\sqrt 2)\\&=3m^2-12-3m^2+6\sqrt 2 m-6\sqrt 2 m+12=0,\end{split}\]因此$$k_{PA}+k_{PB}=0.$$又 $P$ 在直线 $l$ 的左上方，因此，$\angle{APB}$ 的角平分线是平行于 $y$ 轴的直线，所以 $\triangle{PAB}$ 的内切圆的圆心在直线 $x=3\sqrt 2$ 上．

$\dfrac{117\sqrt 3}{49}$

当 $\angle{APB}=60^{\circ}$ 时，结合 $(1)$ 的结论可知 $k_{PA}=\sqrt 3$，$k_{PB}=-\sqrt 3$．
直线 $PA$ 的方程为$$y-\sqrt 2=\sqrt 3(x-3\sqrt 2),$$代入 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 中，消去 $y$ 得$$14x^2+9\sqrt 6(1-3\sqrt 3)x+18(13-3\sqrt 3)=0,$$它的两根分别是 $x_1$ 和 $3\sqrt 2$，所以$$x_1\cdot 3\sqrt 2=\dfrac{18(13-3\sqrt 3)}{14},$$即$$x_1=\dfrac{3\sqrt 2(13-3\sqrt 3)}{14},$$所以$$|PA|=\sqrt{1+(\sqrt 3)^2}\cdot |x_1-3\sqrt 2|=\dfrac{3\sqrt 2(3\sqrt 3+1)}{7}.$$同理可求得$$|PB|=\dfrac{3\sqrt 2(3\sqrt 3-1)}{7}.$$因此\[\begin{split}S_{\triangle{PAB}}&=\dfrac 12 \cdot |PA|\cdot |PB|\cdot \sin{60^{\circ}}\\&=\dfrac 12 \cdot \dfrac{3\sqrt 2 (3\sqrt 3+1)}{7}\cdot \dfrac{3\sqrt 2(3\sqrt 3-1)}{7}\cdot \dfrac{\sqrt 3}{2}\\&=\dfrac{117\sqrt 3}{49}.\end{split}\]