题目 设集合 $W$ 是满足下列两个条件的无穷数列 $\{a_n\}$ 的集合：<br/>① $\dfrac{a_n+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}$；<br/>② $a_n\leqslant M$，其中 $n\in\mathbb N^*$，$M$ 是与 $n$ 无关的常数． 问题1 若 $\{a_n\}$ 是等差数列，$S_n$ 是其前项的和，$a_3=4,S_3=18$，证明：$\{S_N\}\in W$； 答案1 略 解析1 有题设条件容易求得$$\begin{split}a_n&=10-2n,\\S_n&=-n^2+9n.\end{split}$$因为$$S_{n+2}-S_{n+1}=a_{n+2} , S_{n+1}-S_n=a_{n+1},$$且 $a_{n+2}<a_{n+1}$，所以 $\{S_n\}$ 满足性质 ①．<br/>另一方面$$S_n=-\left(n-\dfrac92\right)^2+\dfrac{81}{4}\leqslant\dfrac{81}{4},$$所以 $\{S_n\}$ 满足性质 ②．<br/>综上，$\{S_n\}\in W$． 备注1 问题2 设数列 $\{b_n\}$ 的通项为 $b_n=5n-2^n$，且 $\{c_n\}\in W$，求 $M$ 的取值范围； 答案2 $[7,+\infty)$ 解析2 因为$$\Delta b_n=5-2^n,$$所以 $\Delta b_1,\Delta b_2>0$ 且 $\Delta b_3<0$，所以$$\max\{b_n\}=b_3=7,$$于是 $M$ 的取值范围为 $[7,+\infty)$． 备注2 问题3 设数列 $\{c_n\}$ 的各项均为正整数，且 $\{c_n\}\in W$，证明：$c_n\leqslant c_{n+1}$． 答案3 略 解析3 用反证法．<br/>若存在 $k\in\mathbb N^*$，使得 $c_k>c_{k+1}$，即 $\Delta c_k<0$，则$$\Delta c_k\leqslant-1.$$于是$$\forall m\in\mathbb N^*,\Delta c_{k+m}\leqslant\Delta c_{k+m-1}\leqslant\cdots\leqslant\Delta c_k\leqslant-1,$$累加，有$$c_{k+m}-c_k\leqslant -m,$$即$$c_{k+m}\leqslant c_k-m.$$取 $m=c_k$，则 $c_{k+m}\leqslant0$，矛盾．<br/>因此原命题得证． 备注3 $(3)$ 可以证明 $\{c_n\}$ 从某项起为常数列．