2011年全国高中数学联赛辽宁省预赛

当 $a<\sqrt 3$ 时，两曲线无交点；
当 $a=\sqrt 3$ 时，两曲线有一个交点 $\left(\dfrac 12 \log_23-1,\dfrac 32\right)$；
当 $\sqrt 3 <a\leqslant 2$ 时，两曲线有两个交点，\[\begin{split}\left(\log_2{\dfrac{2a-\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}},2-\dfrac{2+a\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}\right),\left(\log_2{\dfrac{2a+\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}},2+\dfrac{a\sqrt{a^2-3}-2}{a^2+1}\right);\end{split}\]当 $a>2$ 时，两曲线有一个交点 $\left(\log_2{\dfrac{2a-\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}},2-\dfrac{2+a\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}\right)$

设 $t=2^x$，问题化为直线 $y=at$ 和圆弧 $y=2-\sqrt{1-t^2}(0<t\leqslant 1)$ 的交点．
因为圆弧的图象在第一象限，如有交点则$$a>0\text{ 且} y\leqslant 2,$$也即直线 $y=at$ 和圆 $t^2+(y-2)^2=1$ 满足 $a>0$ 且 $y\leqslant 2$ 的交点，此时交点在第一象限，故$$0<t\leqslant 1.$$将 $y=at$ 代入圆方程得$$(a^2+1)t^2-4at+3=0.\cdots {\text{ ① }}$$解之得 $t=\dfrac{2a\pm \sqrt{a^2-3}}{a^2+1}$．
情形一 当 $0<a<\sqrt 3$ 时，方程 ① 无实根，直线与圆不相交；
情形二 当 $a=\sqrt 3$ 时，方程 ① 有一个实根 $t=\dfrac{\sqrt 3}{2}$，直线与圆相切，有一个交点，此时$$y=at=\dfrac 32<2,$$满足条件；
情形三 当 $a>\sqrt 3$ 时，方程 ① 有两个实根$$t_1=\dfrac{2a-\sqrt{a^2-3}}{a^2+1} , t_2=\dfrac{2a+\sqrt{a^2-3}}{a^2+1},$$直线与圆有两个交点 $(t_1,y_1),(t_2,y_2)$，此时\[\begin{split}&y_1=at_1=2-\dfrac{2+a\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}\leqslant 2,\\&y_2=at_2=2+\dfrac{a\sqrt{a^2-3}-2}{a^2+1}.\end{split}\]当 $\sqrt 3<a\leqslant 2$ 时，$y_2\leqslant 2$；当 $a>2$ 时，$y_2>2$．
综上，当 $a<\sqrt 3$ 时，两曲线无交点；
当 $a=\sqrt 3$ 时，两曲线有一个交点 $\left(\dfrac 12 \log_23-1,\dfrac 32\right)$；
当 $\sqrt 3 <a\leqslant 2$ 时，两曲线有两个交点，\[\begin{split}\left(\log_2{\dfrac{2a-\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}},2-\dfrac{2+a\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}\right),\left(\log_2{\dfrac{2a+\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}},2+\dfrac{a\sqrt{a^2-3}-2}{a^2+1}\right);\end{split}\]当 $a>2$ 时，两曲线有一个交点 $\left(\log_2{\dfrac{2a-\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}},2-\dfrac{2+a\sqrt{a^2-3}}{a^2+1}\right)$．