2015年全国高中数学联赛山西省预赛

$79$

不超过 $200$ 的平方数是 $0^2$，$1^2$，$2^2$，$\cdots $，$14^2$．
显然，$1^2$，$2^2$，$\cdots$，$14^2$ 中的每个数 $k^2$ 可表示为 $k^2 + 0^2$ 形式，这种数共有 $14$ 个；而 $1^2$，$2^2$，$\cdots $，$10^2$ 中的每一对数（允许相同）的和在 $M$ 中，这种数有 $\mathrm C_{10}^2 +10 =55$ 个，（其中 $x^{2}+x^{2}$ 形式的数 $10$ 个，$x^{2}+y^2(x \ne y)$ 形式的数 $\mathrm C_{10}^2 $ 个）．
其次，$11^2 +x^{2} (x = 1,2,\cdots,8)$ 形式 的数 $8$ 个；$12^2 +x^{2}(x = 1,2,\cdots,7) $ 形式 的数 $7$ 个；$13^2 +x^{2}(x = 1,2,\cdots,5) $ 形式 的数 $5$ 个；$14^2 +x^{2}(x = 1,2) $ 形式 的数 $2$ 个；共得 $22$ 个；
再考虑重复情况，利用如下事实：若 $x = a^2 +b^2,y=c^2 +d^2,(a \ne b,c \ne d)$，则\[\begin{split} xy&=(ac +bd)^2 +(ad - bc)^2 \\ &=(ac- bd)^2 +(ad +bc)^2. \end{split}\]不超过 $40$ 且能表为两个不同正整数的平方和的数有 $5$、$10$、$13$、$17$、$20$、$25$、$26$、$29$、$34$、$37$、$40$，该组中的每个数与 $5$ 的积，以及 $13^2$ 都在集合 $M$ 中，且都可用两种方式表为平方和，故各被计算了两次，累计有 $12$ 次重复（$10$、$13$、$17$、$20$ 与 $10$ 的积已包含在以上乘积组中）．因此，子集 $A$ 中元素个数的最大值为 $14+55+22-12=79$．