在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$、$B$、$C$ 对边的边长分别是 $a$、$b$、$c$、已知 $c=2$，$C = \dfrac{\pi}{3}$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
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求 $\triangle ABC $ 的周长的最大值；标注答案$6$解析由余弦定理及已知条件得，$a^2 + b^2 -ab =4$，于是$$(a+b)^2 = 4 +3ab \leqslant 4 + 3\times \dfrac{(a+b)^2}{4},$$得 $a+b \leqslant 4$，所以 $\triangle ABC$ 的周长的最大值为 $6$，当 $\triangle ABC$ 为等边三角形时取到．
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若 $2\sin 2A + \sin (2B+C) = \sin C$，求 $\triangle ABC$ 的面积．标注答案$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$解析由$$2\sin 2A + \sin (2B+C) = \sin C,$$得$$\sin (B +A) + \sin (B -A)=4\sin A \cos A,$$即$$\sin B \cos A = 2\sin A \cos A.$$当 $\cos A = 0$ 时，$A = \dfrac{\pi}{2}$，$B = \dfrac{\pi}{6}$，$a = \dfrac{4\sqrt{3}}{3} $，$b = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$．
当 $\cos A \ne 0$ 时，得 $\sin B =2\sin A$，由正弦定理得 $b = 2a$．
联立方程组$$\begin{cases} a^2 + b^2 -ab =4, \\b= 2a, \end{cases}$$解得 $a = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $，$b =\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$．
所以 $\triangle ABC$ 的面积$$S =\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
