题目 实数列 $a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots$，由下述等式定义 ${a_{n + 1}} = {2^n} - 3{a_n}$，$n=0,1,2,\cdots$． 问题1 若 $a_0$ 为常数，求 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 的值； 答案1 ${a_1} = 1 - 3{a_0}$，${a_2} = - 1 + 9{a_0}$，${a_3} = 7 - 27{a_0}$ 解析1 ${a_1} = 1 - 3{a_0}$，${a_2} = - 1 + 9{a_0}$，${a_3} = 7 - 27{a_0}$． 备注1 问题2 求依赖于 $a_0$ 和 $n$ 的 $a_n$ 表达式； 答案2 $a_n=a_0\cdot(-3)^n-\dfrac15[(-3)^n-2^n]$ 解析2 由题意得$$\dfrac{a_{n+1}}{(-3)^{n+1}}=\dfrac{a_n}{(-3)^n}-\dfrac13\cdot\left(-\dfrac23\right)^n,$$令 $b_n=\dfrac{a_n}{(-3)^n}$，则$$\Delta b_n=-\dfrac13\cdot\left(-\dfrac23\right)^n,b_0=a_0,$$于是$$b_n-b_0=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\left[-\dfrac13\left(-\dfrac23\right)^i\right]}=-\dfrac15\left[1-\left(-\dfrac23\right)^n\right],$$所以$$b_n=a_0-\dfrac15\left[1-\left(-\dfrac23\right)^n\right],$$因此$$a_n=a_0\cdot(-3)^n-\dfrac15[(-3)^n-2^n].$$ 备注2 问题3 求 $a_0$ 的值，使得对任何正整数 $n$ 总有 $a_{n+1}>a_n$ 成立． 答案3 $\dfrac15$ 解析3 由题可知\[\begin{split}\Delta a_n&=a_0[(-3)^{(n+1)}-(-3)^n]-\dfrac15[(-3)^{n+1}-2^{n+1}-(-3)^n+2^n]\\&=a_0\cdot(-4)\cdot(-3)^n-\dfrac15[(-4)\cdot(-3)^n-2^n]\\&=(-4)\cdot(-3)^n\left(a_0-\dfrac15\right)+\dfrac15\cdot2^n\\ &=2^n\left[(-4)\cdot\left(-\dfrac32\right)^n\left(a_0-\dfrac15\right)+\dfrac15\right],\end{split}\]若对任意 $n\in\mathbb N^*$，$\Delta a_n>0$，则 $a_0=\dfrac15$ 是符合题意的唯一取值． 备注3