题目

已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1}=1$，关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a_{n+1}\cos x +(2a_{n} +1) = 0$ 有唯一解．

【难度】

【出处】

2015年全国高中数学联赛辽宁省预赛

【标注】

求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
标注
答案

$a_{n} = 2^n - 1 (n \in \mathbb{N^*})$

解析

设 $f(x) = x^{2} - a_{n+1}\cos x +2a_{n} +1$，则 $f(x)$ 是偶函数．因为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - a_{n+1}\cos x +2a_{n} +1=0$ 有唯一解，所以，$x=0$ 是方程 $x^{2} - a_{n+1}\cos x +2a_{n} +1=0$ 的唯一解．
因此，$a_{n+1}=2a_{n}+1.$
又 $a_{n+1} +1=2(a_{n}+1)$，所以 $a_{n} +1= 2^{n-1}(a_{1} +1) =2^n$，即 $a_{n} = 2^n - 1 (n \in \mathbb{N^*})$．
设 $ b_{n} =\left [1 + \dfrac{1}{{\log_2}(a_{n} +1)}\right ]^n$，求证：$b_{n} <3$；
标注
答案

略

解析

由 $(1)$ 得，\[\begin{split} b_{n} &=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \\&= 1+ \mathrm C_{n}^1 \dfrac{1}{n}+\cdots+ \mathrm C_{n}^n \left(\dfrac{1}{n}\right)^n \\ &\leqslant 2 +\dfrac{1}{2!} + \cdots +\dfrac{1}{n!} \\ &< 2 +\dfrac{1}{2} + \cdots +\dfrac{1}{2^{n-1}} \\&<2 +1 -\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}<3. \end{split}\]
设 $ c_{n} = n^2 a_{n}$，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$．
标注
答案

$S_{n} = (n^2 -2n +3)\cdot 2^{n+1}- \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 $

解析

由 $a_{n} = 2^n - 1 $ 可得 $c_{n} = n^2a_{n} = n^2 \cdot 2^n - n^2$．
所以，$\displaystyle S_{n} = \sum\limits_{i=1}^n (i^2 \cdot 2^i - i^2)= \sum\limits_{i=1}^n i^2 \cdot 2^i - \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$
记\[\begin{split} S &= \sum\limits_{i=1}^n i^2 \cdot 2^i \\ &=1 \cdot 2^1 + 4 \cdot 2^2 + 9\cdot 2^3 +\cdots +(n-1)^2 \cdot 2^{n-1} +n^2 \cdot 2^n,\cdots \text{ ① } \end{split}\]则$$2S = 1 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 9\cdot 2^4 +\cdots +(n^2 -2n +1) \cdot 2^{n} +n^2 \cdot 2^{n+1}.\cdots\text{ ② } $$由 ② $- $ ① 得：$$S = n^2 \cdot 2^{n+1} - ( 1 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 5\cdot 2^3 +\cdots +(2n-1) \cdot 2^{n}) ,\cdots \text{ ③ }$$则$$2S =2 n^2 \cdot 2^{n+1} - ( 1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 5\cdot 2^4 +\cdots +(2n-3) \cdot 2^{n} +(2n-1) \cdot 2^{n+1}) .\cdots \text{ ④ }$$由 ④ $- $ ③ 得：\[\begin{split} S &= n^2 \cdot 2^{n+1} + ( 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 2\cdot 2^3+2\cdot 2^4 +\cdots +2 \cdot 2^{n} -(2n-1) \cdot 2^{n+1}) \\ &=(n^2 -2n +1)\cdot 2^{n+1} +2+\dfrac{2^3 (1 - 2^{n-1})}{1 - 2} \\&= (n^2 -2n +3)\cdot 2^{n+1} - 6. \end{split}\]因此，$$S_{n} = (n^2 -2n +3)\cdot 2^{n+1}- \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6.$$

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3

由 $a_{n} = 2^n - 1 $ 可得 $c_{n} = n^2a_{n} = n^2 \cdot 2^n - n^2$．<br/>所以，$\displaystyle S_{n} = \sum\limits_{i=1}^n (i^2 \cdot 2^i - i^2)= \sum\limits_{i=1}^n i^2 \cdot 2^i - \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$<br/>记\[\begin{split} S &= \sum\limits_{i=1}^n i^2 \cdot 2^i \\ &=1 \cdot 2^1 + 4 \cdot 2^2 + 9\cdot 2^3 +\cdots +(n-1)^2 \cdot 2^{n-1} +n^2 \cdot 2^n,\cdots \text{ ① } \end{split}\]则$$2S = 1 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + 9\cdot 2^4 +\cdots +(n^2 -2n +1) \cdot 2^{n} +n^2 \cdot 2^{n+1}.\cdots\text{ ② } $$由 ② $- $ ① 得：$$S = n^2 \cdot 2^{n+1} - ( 1 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 5\cdot 2^3 +\cdots +(2n-1) \cdot 2^{n}) ,\cdots \text{ ③ }$$则$$2S =2 n^2 \cdot 2^{n+1} - ( 1 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 5\cdot 2^4 +\cdots +(2n-3) \cdot 2^{n} +(2n-1) \cdot 2^{n+1}) .\cdots \text{ ④ }$$由 ④ $- $ ③ 得：\[\begin{split} S &= n^2 \cdot 2^{n+1} + ( 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 2\cdot 2^3+2\cdot 2^4 +\cdots +2 \cdot 2^{n} -(2n-1) \cdot 2^{n+1}) \\ &=(n^2 -2n +1)\cdot 2^{n+1} +2+\dfrac{2^3 (1 - 2^{n-1})}{1 - 2} \\&= (n^2 -2n +3)\cdot 2^{n+1} - 6. \end{split}\]因此，$$S_{n} = (n^2 -2n +3)\cdot 2^{n+1}- \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6.$$